Teorema fundamental del álgebra

Incluso sin usar números complejos, es posible demostrar que un polinomio de valor real p ( x ): p (0) ≠ 0 de grado n > 2 siempre puede dividirse por algún polinomio cuadrático con coeficientes reales. ^{[ 11 ]} En otras palabras, para algunos valores reales a y b , los coeficientes del resto lineal al dividir p ( x ) por x ² − ax − b se vuelven simultáneamente cero.

${\displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

donde q ( x ) es un polinomio de grado n − 2. Los coeficientes R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) son independientes de x y están completamente definidos por los coeficientes de p ( x ). En términos de representación, R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) son polinomios bivariados en a y b . Al estilo de la primera demostración (incompleta) de Gauss de este teorema de 1799, la clave es mostrar que para cualquier valor negativo suficientemente grande de b , todas las raíces tanto de R _{p ( x )} ( a , b ) como de S _{p ( x )} ( a , b ) en la variable a son de valor real y se alternan entre sí (propiedad de entrelazamiento). Utilizando una cadena tipo Sturm que contiene R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) como términos consecutivos, se puede demostrar el entrelazamiento en la variable a para todos los pares consecutivos en la cadena siempre que b tenga un valor negativo suficientemente grande. Como S _p ( a , b = 0) = p (0) no tiene raíces, el entrelazamiento de R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p ( x )} ( a , b ) en la variable a falla en b = 0. Se pueden aplicar argumentos topológicos a la propiedad de entrelazamiento para demostrar que el lugar de las raíces de R _{p ( x )} ( a , b ) y S _{p (x )} ( a , b ) debe intersecarse para algún valor real a y b < 0.

Sheldon Axler tiene una demostración del teorema fundamental del álgebra utilizando la fórmula de De Moivre y el teorema del valor extremo en un conjunto compacto en un libro de texto llamado Linear Algebra Done Right . ^{[ 12 ]}

Hallar un disco cerrado D de radio r centrado en el origen tal que | p ( z )|  >  | p (0)| siempre que | z |  ≥ r . El mínimo de | p ( z )| en D , que debe existir ya que D es compacto , se alcanza en algún punto z₀ en el interior de D , pero no en ningún punto de su frontera. El principio del módulo máximo aplicado a 1/ p ( z ) implica que p ( z₀ ₎ = 0. En otras palabras, _z₀ es un cero de p ₍ z ) .   

Una variación de esta demostración no requiere el principio del módulo máximo (de hecho, un argumento similar también proporciona una demostración del principio del módulo máximo para funciones holomorfas). Continuando desde antes de que se invocara el principio, si a  := p ( z ₀ ) ≠ 0, entonces, expandiendo p ( z ) en potencias de z − z ₀ , podemos escribir

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Aquí, los c _j son simplemente los coeficientes del polinomio z → p ( z + z ₀ ) después de la expansión, y k es el índice del primer coeficiente no nulo que sigue al término constante . Para z suficientemente cercano a z ₀ esta función tiene un comportamiento asintóticamente similar al del polinomio más simple.${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$. Más precisamente, la función

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M}$

para alguna constante positiva M en algún entorno de z ₀ . Por lo tanto, si definimos${\displaystyle \theta _ {0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$y dejar${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$trazando un círculo de radio r > 0 alrededor de z , entonces para cualquier r suficientemente pequeño (de modo que se cumpla la cota M ), vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

Cuando r está suficientemente cerca de 0, este límite superior para | p ( z )| es estrictamente menor que | a |, lo que contradice la definición de z ₀ . Geométricamente, hemos encontrado una dirección explícita θ ₀ tal que si uno se acerca a z ₀ desde esa dirección, puede obtener valores p ( z ) menores en valor absoluto que | p ( z ₀ )|.

Otra prueba analítica puede obtenerse siguiendo esta línea de pensamiento al observar que, dado que | p ( z )|  >  | p (0)| fuera de D , el mínimo de | p ( z )| en todo el plano complejo se alcanza en z ₀ . Si | p ( z ₀ )|  >  0, entonces 1/ p es una función holomorfa acotada en todo el plano complejo ya que, para cada número complejo z , |1/ p ( z )|  ≤  |1/ p ( z ₀ )|. Aplicando el teorema de Liouville , que establece que una función entera acotada debe ser constante, esto implicaría que 1/ p es constante y, por lo tanto, que p es constante. Esto da una contradicción y, por lo tanto, p ( z ₀ )  =  0. ^{[ 13 ]}

Otra demostración analítica utiliza el principio del argumento . Sea R un número real positivo lo suficientemente grande como para que cada raíz de p ( z ) tenga un valor absoluto menor que R ; tal número debe existir porque toda función polinómica no constante de grado n tiene como máximo n ceros. Para cada r  > R , consideremos el número 

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

donde c ( r ) es el círculo centrado en 0 con radio r orientado en sentido antihorario; entonces el principio del argumento dice que este número es el número N de ceros de p ( z ) en la bola abierta centrada en 0 con radio r , que, dado que r  > R , es el número total de ceros de p ( z ). Por otro lado, la integral de n / z a lo largo de c ( r ) dividida por 2π i es igual a n . Pero la diferencia entre los dos números es 

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

El numerador de la expresión racional que se está integrando tiene grado como máximo n  −  1 y el grado del denominador es n  +  1. Por lo tanto, el número anterior tiende a 0 cuando r → +∞. Pero el número también es igual a N  − n y por lo tanto N = n .   

Otra demostración analítica compleja se puede dar combinando el álgebra lineal con el teorema de Cauchy . Para establecer que todo polinomio complejo de grado n  >  0 tiene una raíz, basta con demostrar que toda matriz cuadrada compleja de tamaño n  > 0 tiene un valor propio  (complejo) . ^{[ 14 ]} La demostración de esta última afirmación es por contradicción .

Sea A una matriz cuadrada compleja de tamaño n  >  0 y sea I _n la matriz identidad del mismo tamaño. Supongamos que A no tiene valores propios. Consideremos la función resolvente.

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

que es una función meromorfa en el plano complejo con valores en el espacio vectorial de matrices. Los autovalores de A son precisamente los polos de R ( z ). Dado que, por hipótesis, A no tiene autovalores, la función R ( z ) es una función entera y el teorema de Cauchy implica que

${\displaystyle \int _ {c(r)}R(z)\,dz=0.}$

Por otro lado, R ( z ) expandida como una serie geométrica da como resultado:

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

Esta fórmula es válida fuera del disco cerrado de radio${\displaystyle \|A\|}$(la norma del operador de A ). Sea${\displaystyle r>\|A\|.}$Entonces

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(en la que solo el sumando k  =  0 tiene una integral distinta de cero). Esto es una contradicción, por lo que A tiene un valor propio.

Finalmente, el teorema de Rouché ofrece quizás la demostración más corta del teorema.

_{Supongamos que} el mínimo de | p ( z )| en todo el plano complejo se alcanza en z₀ ; se vio en la demostración que utiliza el teorema de Liouville que tal número debe existir. Podemos escribir _p ( z ) como un polinomio en z − z₀ _: existe algún número natural k y existen algunos números complejos cₖ _, cₖ _{+ 1} , ..., cₙ _tales que cₖ _≠ 0 y:      

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Si p ( z ₀ ) es distinto de cero, se deduce que si a es una raíz k- ^ésima de − p ( z ₀ )/ c _k y si t es positivo y suficientemente pequeño, entonces | p ( z ₀  + ta )| < | p ( z ₀ )|, lo cual es imposible, ya que | p ( z ₀ )| es el mínimo de | p | en D .   

Para otra demostración topológica por contradicción, supongamos que el polinomio p ( z ) no tiene raíces y, por consiguiente, nunca es igual a 0. Pensemos en el polinomio como una aplicación del plano complejo al plano complejo. Transforma cualquier círculo | z |  = R en un bucle cerrado, una curva P ( R ). Consideraremos qué sucede con el número de vueltas de P ( R ) en los extremos cuando R es muy grande y cuando R = 0. Cuando R es un número suficientemente grande, entonces el término principal z ⁿ de p ( z ) domina a todos los demás términos combinados; en otras palabras, 

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

Cuando z recorre el círculo${\displaystyle Re^{i\theta }}$una vez en sentido contrario a las agujas del reloj${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$entonces${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$da vueltas n veces en sentido contrario a las agujas del reloj${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$alrededor del origen (0,0), y P ( R ) de igual manera. En el otro extremo, con | z |  =  0, la curva P (0) es simplemente el único punto p (0), que debe ser distinto de cero porque p ( z ) nunca es cero. Por lo tanto, p (0) debe ser distinto del origen (0,0), que denota 0 en el plano complejo. El número de vueltas de P (0) alrededor del origen (0,0) es, por lo tanto, 0. Ahora, cambiar R continuamente deformará el bucle continuamente . En algún R el número de vueltas debe cambiar. Pero eso solo puede suceder si la curva P ( R ) incluye el origen (0,0) para algún R . Pero entonces para algún z en ese círculo | z |  = R tenemos p ( z ) = 0, contradiciendo nuestra suposición original. Por lo tanto, p ( z ) tiene al menos un cero. 

Estas demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra deben utilizar los dos siguientes hechos sobre los números reales que no son algebraicos pero que requieren solo una pequeña cantidad de análisis (más precisamente, el teorema del valor intermedio en ambos casos):

• Todo polinomio de grado impar y coeficientes reales tiene alguna raíz real;
• Todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada.

El segundo hecho, junto con la fórmula cuadrática , implica el teorema para polinomios cuadráticos reales. En otras palabras, las demostraciones algebraicas del teorema fundamental muestran que si R es cualquier cuerpo real cerrado , entonces su extensión C = R ( √ −1 ) es algebraicamente cerrada.

Existe otra forma de abordar el teorema fundamental del álgebra, propuesta por J. M. Almira y A. Romero: mediante argumentos geométricos riemannianos . La idea principal consiste en demostrar que la existencia de un polinomio no constante p ( z ) sin ceros implica la existencia de una métrica riemanniana plana sobre la esfera S² . Esto conduce a una contradicción ^, ya que la esfera no es plana.

Se dice que una superficie riemanniana ( M , g ) es plana si su curvatura gaussiana , que denotamos por K _g , es idénticamente nula. Ahora bien, el teorema de Gauss-Bonnet , cuando se aplica a la esfera S ² , afirma que

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

lo cual demuestra que la esfera no es plana.

Supongamos ahora que n > 0 y

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

para cada número complejo z . Definamos

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Obviamente, p* ( z )  ≠ 0 para todo z en C . Consideremos el polinomio f ( z )  = p ( z ) p* ( z ). Entonces f ( z ) ≠ 0 para cada z en C . Además,  

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

Podemos usar esta ecuación funcional para demostrar que g , dada por

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

para w en C y

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

para w  ∈ S ² \{0}, es una métrica riemanniana bien definida sobre la esfera S ² (que identificamos con el plano complejo extendido C ∪ {∞}).   

Ahora, un cálculo sencillo muestra que

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C}$ :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}

Dado que la parte real de una función analítica es armónica, esto demuestra que K _g  =  0.

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