Extensión normal

En álgebra abstracta , una extensión normal es una extensión de cuerpo algebraico L / K para la cual todo polinomio irreducible sobre K que tiene una raíz en L se descompone en factores lineales sobre L. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta es una de las condiciones para que una extensión algebraica sea una extensión de Galois . Bourbaki llama a dicha extensión una extensión cuasi-Galois . Para extensiones finitas , una extensión normal es idéntica a un cuerpo de descomposición .

Dejar${\displaystyle L/K}$sea ​​una extensión algebraica (es decir, L es una extensión algebraica de K ), tal que${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$(es decir, L está contenido en un cierre algebraico de K ). Entonces las siguientes condiciones, cualquiera de las cuales puede considerarse una definición de extensión normal , son equivalentes: ^{[ 3 ]}

• Cada incrustación de L en${\displaystyle {\overline {K}}}$sobre K induce un automorfismo de L.
• L es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios en${\displaystyle K[X]}$.
• Todo polinomio irreducible de${\displaystyle K[X]}$que tiene una raíz en L se divide en factores lineales en L.

Sea L una extensión de un cuerpo K. Entonces:

• Si L es una extensión normal de ^K y si E es una extensión intermedia (es decir, L  ⊇ E ⊇ K ), entonces L es una extensión normal de E. [ ^{4 ]}   
• Si E y F son extensiones normales de ^K contenidas en L , entonces el compuesto EF y E  ∩ F también son extensiones normales de K. [ ^{4 ]} 

Dejar${\displaystyle L/K}$ser algebraico. El cuerpo L es una extensión normal si y solo si se cumple alguna de las condiciones equivalentes que se indican a continuación.

• El polinomio mínimo sobre K de cada elemento en L se divide en L ;
• Hay un conjunto${\displaystyle S\subseteq K[x]}$de polinomios que se descomponen cada uno sobre L , de tal manera que si${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$Si son campos, entonces S tiene un polinomio que no se divide en F ;
• Todos los homomorfismos${\displaystyle L\a {\bar {K}}}$que fijan que todos los elementos de K tengan la misma imagen;
• El grupo de automorfismos,${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$de L que fijan todos los elementos de K , actúa transitivamente sobre el conjunto de homomorfismos${\displaystyle L\a {\bar {K}}}$que fijan todos los elementos de K.

Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$es una extensión normal de${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$puesto que es un campo divisor de${\displaystyle x^{2}-2.}$Por otro lado,${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$no es una extensión normal de${\displaystyle \mathbb {Q} }$ya que el polinomio irreducible${\displaystyle x^{3}-2}$tiene una raíz en ella (a saber,${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$), pero no todos ellos (no tiene las raíces cúbicas no reales de  2). Recordemos que el campo${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$de números algebraicos es el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$y por lo tanto contiene${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$Dejar${\displaystyle \omega }$sea ​​una raíz cúbica primitiva de la unidad. Entonces, puesto que, $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ el mapa $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma$$ :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}} es una incrustación de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$en${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$cuya restricción a${\displaystyle \mathbb {Q} }$es la identidad. Sin embargo,${\displaystyle \sigma }$no es un automorfismo de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Para cualquier primo${\displaystyle p,}$la extensión${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$es normal de grado${\displaystyle p(p-1).}$Es un campo divisorio de${\displaystyle x^{p}-2.}$Aquí${\displaystyle \zeta _{p}}$denota cualquier${\displaystyle p}$raíz primitiva de la unidad . El campo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$es el cierre normal (ver abajo) de${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Si K es un cuerpo y L es una extensión algebraica de K , entonces existe alguna extensión algebraica M de L tal que M es una extensión normal de K. Además, salvo isomorfismo, solo existe una extensión de este tipo que es mínima; es decir, el único subcuerpo de M que contiene a L y que es una extensión normal de K es M mismo. Esta extensión se denomina clausura normal de la extensión L de K.

Si L es una extensión finita de K , entonces su clausura normal también es una extensión finita.

• Extensión de Galois
• Base normal

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  211 (tercera edición revisada  ), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2ª  ed.), W.  H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787