Base normal

En matemáticas , específicamente en la teoría algebraica de cuerpos , una base normal es un tipo especial de base para extensiones de Galois de grado finito, caracterizada por formar una órbita única para el grupo de Galois . El teorema de la base normal establece que cualquier extensión de Galois finita de cuerpos posee una base normal. En la teoría algebraica de números , el estudio de la cuestión más refinada de la existencia de una base integral normal forma parte de la teoría de módulos de Galois .

Teorema de la base normal

Dejar $F\subsetek K$ ser una extensión de Galois con el grupo Galois $G$ . El teorema clásico de la base normal establece que existe un elemento $\beta \in K$ de tal manera que $\{\sigma (\beta ):\sigma \in G\}$ forma una base de $K$ , considerado como un espacio vectorial sobre $F$ . Es decir, cualquier elemento $\alpha \in K$ puede escribirse de forma única como ${\textstyle \alpha =\sum _{\sigma \in G}a_{\sigma }\,\sigma (\beta )}$ para algunos coeficientes $a_{\sigma }\in F$ .

Una base normal contrasta con una base de elementos primitivos de la forma $\{1,\beta ,\beta ^{2},\ldots ,\beta ^{n-1}\}$ , dónde $\beta \in K$ es un elemento cuyo polinomio mínimo tiene grado $n=[K:F]$ .

Punto de vista de la representación grupal

Una extensión de cuerpo K / F con grupo de Galois G puede verse naturalmente como una representación del grupo G sobre el cuerpo F en la que cada automorfismo está representado por sí mismo; por lo tanto, K es también un módulo izquierdo para el álgebra de grupo F [ G ]. Todo homomorfismo de módulos izquierdos F [ G ] $\phi :F[G]\rightarrow K$ es de forma $\phi (\sigma )=\sigma (\beta )$ para algunos $\beta \in K$ . Desde ${\displaystyle \{\sigma$ es una base lineal de F [ G ] sobre F , vemos que $\phi$ es biyectiva si y solo si $\beta$ genera una base normal de K sobre F.

Por lo tanto, el teorema de la base normal equivale a afirmar que si K / F es una extensión de Galois finita, entonces $K\cong F[G]$ como una izquierda $F[G]$ -módulo: K es isomorfo a la representación regular . Además, un dado $\beta$ genera una base normal si y solo si, al considerar K como una G -representación, $\beta$ no reside en ninguna subrepresentación adecuada .

Caso de campos finitos

Para cuerpos finitos esto se puede enunciar de la siguiente manera: ^{[ 1 ]} Sea $F=\mathrm {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}$ denotemos el campo de q elementos, donde q = p ^m es una potencia prima , y sea $K=\mathrm {GF} (q^{n})=\mathbb {F} _{q^{n}}$ denotamos su campo de extensión de grado n ≥ 1. Aquí el grupo de Galois es $G={\text{Gal}}(K/F)=\{1,\Phi ,\Phi ^{2},\ldots ,\Phi ^{n-1}\}$ con $\Phi ^{n}=1,$ un grupo cíclico generado por el automorfismo de Frobenius de potencia q $\Phi (\alpha )=\alpha ^{q},$ con $\Phi ^{n}=1=\mathrm {Id} _{K}.$ Entonces existe un elemento β ∈ K tal que $\{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}\ =\ \{\beta ,\beta ^{q},\beta ^{q^{2}},\ldots ,\beta ^{q^{n-1}}\!\}$ es una base de K sobre F.

Demostración para campos finitos

En caso de que el grupo de Galois sea cíclico como se indicó anteriormente, generado por $\Phi$ con $\Phi ^{n}=1,$ El teorema de la base normal se deduce de dos hechos básicos. El primero es la independencia lineal de los caracteres: un carácter multiplicativo es una función. $\chi$ de un grupo $H$ a un campo $K$ satisfactorio $\chi (h_{1}h_{2})=\chi (h_{1})\chi (h_{2})$ y $\chi (1)=1$ ; luego cualquier carácter distinto $\chi _{1},\chi _{2},\ldots$ son linealmente independientes en el $K$ -espacio vectorial de aplicaciones $H\to K$ Aplicamos esto a los automorfismos del grupo de Galois. $\chi _{i}=\Phi ^{i}:K\to K,$ considerado como mapeos del grupo multiplicativo $H=K^{\times }$ . Ahora $K\cong F^{n}$ como un espacio vectorial F , por lo que podemos considerar $\Phi :F^{n}\to F^{n}$ como elemento de $M_{n}(F)\subset M_{n}(K)$ ; ya que sus poderes $1,\Phi,\ldots,\Phi ^{n-1}$ son linealmente independientes sobre $K$ en $M_{n}(K)$ y a fortiori sobre $F$ en $M_{n}(F)$ , su polinomio mínimo debe tener grado al menos n , es decir debe ser $X^{n}-1$ .

El segundo hecho básico es la clasificación de módulos sobre un PID como por ejemplo $F[X]$ Cada módulo de este tipo $M$ de dimensión finita sobre F puede representarse como ${\textstyle M\cong \bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {F[X]}{(f_{i}(X))}}}$ , dónde $f_{i}(X)$ son polinomios mónicos y $f_{i+1}(X)$ es un múltiplo de $f_{i}(X)$ , de modo que el más alto $f_{k}(X)$ es el polinomio mónico de menor grado que aniquila el módulo. Para nuestro grupo de Galois cíclico $G$ de orden n , tenemos un $F$ isomorfismo de álgebra ${\textstyle F[G]\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}-1)}}}$ tomando el generador $\Phi$ a la variable $X$ : esto hace que cada $F[G]$ -módulo en un $F[X]$ -módulo. Considere $M=K$ como un $F[X]$ -módulo bajo $X\alpha =\Phi (\alpha )$ : el polinomio mónico mínimo $f_{k}(X)$ aniquilador $M$ es el polinomio mínimo de $\Phi$ , es decir $f_{k}(X)=X^{n}-1$ . Desde $\dim _{F}(M)=n,$ solo podemos tener $k=1$ , y ${\textstyle K\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}{-}\,1)}}}$ como $F[X]$ -módulos (pero esto no es un isomorfismo de anillos). Por lo tanto, tenemos un isomorfismo de $F[G]$ -módulos

${\textstyle K\cong {\frac {F[X]}{(X^{n}{-}\,1)}}\cong F[G]}$ ,

bajo la cual la base $\{1,X,X^{2},\ldots ,X^{n-1}\}$ corresponde a la base $\{1,\Phi ,\Phi ^{2},\ldots ,\Phi ^{n-1}\}$ de $F[G]$ en el lado derecho y de forma normal. $\{\beta ,\Phi (\beta ),\Phi ^{2}(\beta ),\ldots ,\Phi ^{n-1}(\beta )\}$ de $K$ a la izquierda.

Nótese que esta demostración también se aplicaría en característica cero para una extensión de Kummer cíclica .

Ejemplo

Consideremos el campo $K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}$ encima $F=\mathrm {GF} (2)=\mathbb {F} _{2}$ , con automorfismo de Frobenius $\Phi (\alpha )=\alpha ^{2}$ . La demostración anterior aclara la elección de bases normales en términos de la estructura de K como una representación de G (o $F[G]$ -módulo). La factorización irreducible $X^{n}-1\ =\ X^{3}-1\ =\ (X{-}1)(X^{2}{+}X{+}1)\ \in \ F[X]$ significa que tenemos una suma directa de F [ G ]-módulos (por el teorema chino del resto ): $K\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X^{3}{-}\,1)}}\ \cong \ {\frac {F[X]}{(X{+}1)}}\oplus {\frac {F[X]}{(X^{2}{+}X{+}1)}}.$ El primer componente es simplemente $F\subset K$ , mientras que el segundo es isomorfo como un $F[G]$ -módulo a $\mathbb {F} _{2^{2}}\cong \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}{+}X{+}1)$ bajo la acción $\Phi \cdot X^{i}=X^{i+1}.$ (De este modo $K\cong \mathbb {F} _{2}\oplus \mathbb {F} _{4}$ como $F[G]$ -módulos, pero no como anillos.)

Rudimentos $\beta \in K$ que pueden usarse como base normal son precisamente aquellos que están fuera de cualquiera de los submódulos, de modo que $(\Phi {+}1)(\beta )\neq 0$ y $(\Phi ^{2}{+}\Phi {+}1)(\beta )\neq 0$ En términos de la $G$ -órbitas de $K$ , que corresponden a los factores irreducibles en: $t^{8}-t\ =\ t(t{+}1)\left(t^{3}+t+1\right)\left(t^{3}+t^{2}+1\right)\ \in \ F[t],$ los elementos del submódulo $F=\mathbb {F} _{2}$ son las raíces de $t(t{+}1)$ ; y los elementos no nulos del submódulo $\mathbb {F} _{4}$ son las raíces de $t^{3}+t+1$ ; mientras que la base normal, que en este caso es única, viene dada por las raíces del factor restante. $t^{3}{+}t^{2}{+}1$ .

Por el contrario, para el campo de extensión $L=\mathrm {GF} (2^{4})=\mathbb {F} _{16}$ en la que n = 4 es divisible por p = 2 , tenemos el $F[G]$ isomorfismo de -módulos $L\ \cong \ \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{4}{-}1)\ =\ \mathbb {F} _{2}[X]/(X{+}1)^{4}.$ Aquí el operador $\Phi \cong X$ no es diagonalizable , el módulo $L$ tiene submódulos anidados dados por autoespacios generalizados de $\Phi$ y los elementos de la base normal β son aquellos fuera del espacio propio generalizado propio más grande, los elementos con $(\Phi {+}1)^{3}(\beta )\neq 0$ .

Aplicación a la criptografía

La base normal se utiliza con frecuencia en aplicaciones criptográficas basadas en el problema del logaritmo discreto , como la criptografía de curva elíptica , ya que la aritmética que utiliza una base normal suele ser computacionalmente más eficiente que la que utiliza otras bases.

Por ejemplo, en el campo $K=\mathrm {GF} (2^{3})=\mathbb {F} _{8}$ Arriba, podemos representar los elementos como cadenas de bits: $\alpha \ =\ (a_{2},a_{1},a_{0})\ =\ a_{2}\Phi ^{2}(\beta )+a_{1}\Phi (\beta )+a_{0}\beta \ =\ a_{2}\beta ^{4}+a_{1}\beta ^{2}+a_{0}\beta ,$ donde los coeficientes son bits $a_{i}\in \mathrm {GF} (2)=\{0,1\}.$ Ahora podemos cuadrar elementos haciendo un desplazamiento circular izquierdo , $\alpha ^{2}=\Phi (a_{2},a_{1},a_{0})=(a_{1},a_{0},a_{2})$ , puesto que al elevar al cuadrado β ⁴ se obtiene β ⁸ = β . Esto hace que la base normal sea especialmente atractiva para los criptosistemas que utilizan elevaciones al cuadrado frecuentes.

Base normal primitiva

Una base normal primitiva de una extensión de campos finitos $K/F$ es una base normal que se genera mediante un elemento primitivo de $K$ , que es un generador del grupo multiplicativo $K^{\times }$ . (Tenga en cuenta que esta es una definición más fuerte de elemento primitivo que la mencionada anteriormente: se requieren potencias del elemento para producir cada elemento distinto de cero de $K$ , no meramente una base.) Lenstra y Schoof (1987) demostraron que toda extensión de cuerpos finitos posee una base normal primitiva, el caso en que $F$ es un terreno privilegiado, ya que fue colonizado por Harold Davenport .

Demostración para el caso de campos infinitos

Suponer $K/F$ es una extensión de Galois finita del cuerpo infinito F . Sea $n=[K:F]$ , $G={\text{Gal}}(K/F)=\{\sigma _{1}...\sigma _{n}\}$ con $\sigma _{1}={\text{Id}}$ Por el teorema del elemento primitivo existe $\alpha \in K$ de tal manera que $K=F[\alpha ]$ y $\sigma _{i}(\alpha )\neq \sigma _{j}(\alpha )$ para $i\neq j$ y escribir $\alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )$ . El polinomio mínimo f de $\alpha$ sobre K es: $f(X)=\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i}),$ un polinomio mónico de grado n que es irreducible en $K[X]$ Dado que f es separable (tiene raíces simples), podemos definir los polinomios de interpolación de Lagrange. $g_{1}(X),\ldots ,g_{n}(X)$ satisfactorio $g_{i}(\alpha _{i})=1$ y $g_{i}(\alpha _{j})=0$ para $i\neq j$ : ${\begin{aligned}g(X)&=\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha )f'(\alpha )}}\ =\ \prod _{\begin{array}{c}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{array}}{\frac {X-\alpha _{j}}{\alpha -\alpha _{j}}},\\g_{i}(X)&=\ \sigma _{i}(g(X))\ =\ {\frac {f(X)}{(X-\alpha _{i})f'(\alpha _{i})}}\ =\ \prod _{\begin{array}{c}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{array}}{\frac {X-\alpha _{j}}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}.\end{aligned}}$ A continuación, defina un $n\times n$ matriz de polinomios $A=(A_{ij}(X))$ por $A_{ij}(X)=\sigma _{i}(\sigma _{j}(g(X))=\sigma _{i}(g_{j}(X)),$ y dejar $D(X)=\det A(X)$ Para ver que esto es un polinomio distinto de cero, observe que $A_{ij}(X)=g_{k}(X)$ donde k está determinado por $\sigma _{k}=\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}$ , y $k=1$ si y solo si $\sigma _{i}=\sigma _{j}^{-1}$ ; de este modo $A(\alpha )$ es la matriz de permutación correspondiente a la permutación de G que envía cada $\sigma _{i}$ a $\sigma _{i}^{-1}$ , y $D(\alpha )=\det A(\alpha )=\pm 1$ . Desde $D(X)$ es un polinomio no nulo, tiene solo un número finito de raíces; y dado que asumimos que F es infinito, podemos encontrar $a\in F$ con $D(a)\neq 0$ . Definir $\beta =g(a),\qquad \beta _{i}=g_{i}(a)=\sigma _{i}(\beta ).$ Afirmamos que $\{\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\}$ es una base normal; es decir que $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ son linealmente independientes sobre F. Supongamos que ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}c_{j}\beta _{j}=0}$ para algunos ${\vec {c}}=(c_{1},...,c_{n})\in F^{n}$ ; aplicando cualquier $\sigma _{i}$ da ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}c_{j}\sigma _{i}(g_{j}(a))=0}$ , de modo que $A(a)\cdot {\vec {c}}={\vec {0}}$ . Desde $\det A(a)=D(a)\neq 0$ , concluimos que ${\vec {c}}={\vec {0}}$ , lo cual completa la demostración.

Es tentador tomar $a=\alpha$ porque $D(\alpha )\neq 0$ pero necesitamos $a\in F$ para concluir que $\sigma _{i}(g_{j}(a))=\sigma _{i}(g_{j}(X))|_{X=\sigma _{i}(a)}=\sigma _{i}(g_{j}(X))|_{X=a}$ es una entrada de matriz de $A(a)=A(X)|_{x=a}$ .

Elementos libres

Si K / F es una extensión de Galois y ^x en K genera una base normal sobre F , entonces x es libre en K / F . Si x tiene la propiedad de que para cada subgrupo ^H del grupo de Galois G , con cuerpo fijo KH , x es libre para K / KH , entonces se dice que x es completamente libre en K / F . Toda extensión de Galois tiene un elemento completamente libre. ^[²^]

Véase también

Referencias

↑ Nader H. Bshouty; Gadiel Seroussi (1989), Generalizaciones del teorema de la base normal de campos finitos (PDF) , pág. 1; SIAM J. Discrete Math . 3 (1990), n.º 3, 330–337.
↑ Dirk Hachenberger, Elementos completamente libres , en Cohen & Niederreiter (1996) págs. 97-107 Zbl 0864.11066

Cohen, S.; Niederreiter, H. , eds. (1996). Campos finitos y aplicaciones. Actas de la 3.ª conferencia internacional, Glasgow, Reino Unido, 11-14 de julio de 1995. Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 233. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-56736-7. Zbl 0851.00052 .
Lenstra, HW Jr ; Schoof, RJ (1987). "Bases normales primitivas para campos finitos" . Mathematics of Computation . 48 (177): 217– 231. doi : 10.2307/2007886 . hdl : 1887/3824 . JSTOR 2007886 . Zbl 0615.12023 .
Menezes, Alfred J. , ed. (1993). Aplicaciones de campos finitos . The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science. Vol. 199. Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792392828. Zbl 0779.11059 .