Base monomial

En matemáticas, la base monomial de un anillo de polinomios es su base (como espacio vectorial o módulo libre sobre el cuerpo o anillo de coeficientes ) que consta de todos los monomios . Los monomios forman una base porque todo polinomio puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de monomios (esto es una consecuencia inmediata de la definición de polinomio).

El anillo de polinomios K [ x ] de polinomios univariados sobre un cuerpo K es un espacio vectorial K , que tiene $${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$$ como una base (infinita). ^{[ 1 ]} De manera más general, si K es un anillo , entonces K [ x ] es un módulo libre que tiene la misma base.

Los polinomios de grado como máximo d forman también un espacio vectorial (o un módulo libre en el caso de un anillo de coeficientes), que tiene$${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1},x^{d}\}}$$como base.

La forma canónica de un polinomio es su expresión sobre esta base:$${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},}$$ o bien, utilizando la notación sigma más corta : $${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.}$$

La base monomial está naturalmente totalmente ordenada , ya sea por grados crecientes. $${\displaystyle 1<x<x^{2}<\cdots ,}$$ o en grados decrecientes $${\displaystyle 1>x>x^{2}>\cdots .}$$

En el caso de varias indeterminaciones${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$un monomio es un producto $${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},}$$ donde el${\displaystyle d_{i}}$son enteros no negativos . ^{[ 2 ]} Como${\displaystyle x_{i}^{0}=1,}$un exponente igual a cero significa que la indeterminada correspondiente no aparece en el monomio; en particular${\displaystyle 1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}}$es un monomio.

De forma similar al caso de los polinomios univariados, los polinomios en${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$forman un espacio vectorial (si los coeficientes pertenecen a un cuerpo) o un módulo libre (si los coeficientes pertenecen a un anillo), que tiene como base el conjunto de todos los monomios, llamado base monomial .

Los polinomios homogéneos de grado${\displaystyle d}$formen un subespacio que tenga los monomios de grado${\displaystyle d=d_{1}+\cdots +d_{n}}$como base. La dimensión de este subespacio es el número de monomios de grado${\displaystyle d}$, que es $${\displaystyle {\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},}$$ dónde${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$es un coeficiente binomial .

Los polinomios de grado como máximo${\displaystyle d}$también forman un subespacio, que tiene los monomios de grado como máximo${\displaystyle d}$como base. El número de estos monomios es la dimensión de este subespacio, igual a ^{[ 3 ].}$${\displaystyle {\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.}$$

A diferencia del caso univariado, no existe un orden total natural de la base monomial en el caso multivariado. Para problemas que requieren elegir un orden total, como los cálculos de la base de Gröbner , ^{[ 4 ]} generalmente se elige un orden monomial admisible , es decir, un orden total en el conjunto de monomios tal que $${\displaystyle m<n\iff mq<nq}$$ y$${\displaystyle 1\leq m}$$para cada monomio${\displaystyle m,n,q.}$

Los coeficientes de un polinomio (o serie infinita) en una base monomial representan el comportamiento local cerca del origen en el plano complejo y son proporcionales a los valores de las distintas derivadas de la función en ese punto (véase la serie de Taylor ). Cuando la serie es la serie de Taylor de alguna función no polinómica, converge dentro de un disco centrado en el origen en el plano complejo, cuyo radio es lo más grande posible de manera que la función sea analítica dentro de dicho disco.

Los polinomios en base monomial generalmente no son una buena opción para la evaluación numérica lejos del origen, y otras bases polinómicas son mucho más adecuadas para representar un polinomio sobre un intervalo real específico o una región arbitraria en el plano complejo.

• El método de Horner
• Secuencia polinómica
• polinomio de Newton
• polinomio de Lagrange
• polinomio de Legendre
• Forma de Bernstein
• Forma de Chebyshev
• Matriz de Vandermonde

• Cox, David A .; Little, John; O'Shea, Donal (1997). Ideales, variedades y algoritmos: una introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa . Springer. ISBN 0-387-94680-2.