Teorema de la raíz conjugada compleja

En matemáticas , el teorema de la raíz conjugada compleja establece que si P es un polinomio en una variable con coeficientes reales , y a + bi es una raíz de P donde a y b son números reales , entonces su conjugado complejo a − bi también es ^una raíz de P. [ ^{1 ]}    

De esto se deduce (y del teorema fundamental del álgebra ) que, si el grado de un polinomio real es impar , debe tener al menos una raíz real. ^{[ 2 ]} Ese hecho también puede probarse utilizando el teorema del valor intermedio .

• El polinomio${\displaystyle x^{2}+1=0}$tiene dos raíces imaginarias:${\displaystyle \pm i}$

• Cualquier matriz cuadrada real de grado impar tiene al menos un valor propio real . Por ejemplo, si la matriz es ortogonal , entonces 1 o -1 es un valor propio.
• El polinomio

${\displaystyle x^{3}-7x^{2}+41x-87}$

tiene raíces de

${\displaystyle 3,\,2+5i,\,2-5i,}$

y por lo tanto puede ser factorizado como

${\displaystyle (x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).}$

Al calcular el producto de los dos últimos factores, las partes imaginarias se cancelan y obtenemos

${\displaystyle (x-3)(x^{2}-4x+29).}$

Los factores no reales se presentan en pares que, al multiplicarse, dan como resultado polinomios cuadráticos con coeficientes reales. Dado que todo polinomio con coeficientes complejos puede factorizarse en factores de primer grado (una forma de enunciar el teorema fundamental del álgebra ), se deduce que todo polinomio con coeficientes reales puede factorizarse en factores de grado no superior a 2: únicamente factores de primer grado y cuadráticos.

• Si las raíces son a + bi y a − bi , forman una ecuación cuadrática.

${\displaystyle x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})}$.

Si la tercera raíz es c , esto se convierte en

${\displaystyle (x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(xc)}$

${\displaystyle =x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})}$.

Una demostración del teorema es la siguiente: ^{[ 2 ]}

Consideremos el polinomio

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

donde todos los a _r son reales. Supongamos que algún número complejo ζ es una raíz de P , es decir${\displaystyle P(\zeta )=0}$. Es necesario demostrar que

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0}$

también.

Si P ( ζ )  =  0, entonces

${\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0}$

que se puede expresar como

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.}$

Ahora

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}}$

y dadas las propiedades de la conjugación compleja ,

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.}$

Desde

${\displaystyle {\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},}$

resulta que

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.}$

Eso es,

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\grande)}^{n}=0.}$

Tenga en cuenta que esto funciona solo porque los a y _r son reales, es decir,${\displaystyle {\overline {a_{r}}}=a_{r}}$. Si alguno de los coeficientes no fuera real, las raíces no necesariamente vendrían en pares conjugados. Además, se puede demostrar que para cualquier${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} }$, sostiene que${\displaystyle P({\overline {\zeta }})={\overline {P(\zeta )}}}$incluso si${\displaystyle P(\zeta )\neq 0}$.