Mapa conforme

Un mapeo de la esfera de Riemann sobre sí misma es conforme si y solo si es una transformación de Möbius .

El conjugado complejo de una transformación de Möbius conserva los ángulos, pero invierte la orientación. Por ejemplo, las inversiones de círculos .

En geometría plana, existen tres tipos de ángulos que pueden conservarse en una transformación conforme. ^{[ 3 ]} Cada uno está asociado a su propia álgebra real, números complejos ordinarios , números complejos divididos y números duales . Las transformaciones conformes se describen mediante transformaciones fraccionarias lineales en cada caso. ^{[ 4 ]}

En geometría riemanniana , dos métricas riemannianas${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$en un colector liso${\displaystyle M}$se denominan equivalentes conformes si${\displaystyle g=uh}$para alguna función positiva${\displaystyle u}$en${\displaystyle M}$. La función${\displaystyle {\sqrt {u}}}$se denomina factor conforme .

Un difeomorfismo entre dos variedades riemannianas se denomina aplicación conforme si la métrica resultante es conformemente equivalente a la original. Por ejemplo, la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano aumentado con un punto en el infinito es una aplicación conforme.

También se puede definir una estructura conforme en una variedad diferenciable, como una clase de métricas riemannianas conformemente equivalentes .

Un teorema clásico de Joseph Liouville demuestra que existen muchas menos transformaciones conformes en dimensiones superiores que en dos dimensiones. Cualquier transformación conforme de un subconjunto abierto del espacio euclidiano al mismo espacio euclidiano de dimensión tres o superior puede estar compuesta por tres tipos de transformaciones: una homotecia , una isometría y una transformación conforme especial . Para las transformaciones lineales , una transformación conforme solo puede estar compuesta por homotecia e isometría , y se denomina transformación lineal conforme .

En cartografía , varias proyecciones cartográficas , como la proyección de Mercator y la proyección estereográfica, son conformes. La conservación de los puntos cardinales las hace útiles en la navegación marítima.

Las transformaciones conformes son invaluables para resolver problemas en ingeniería y física que pueden expresarse en términos de funciones de una variable compleja pero que presentan geometrías inconvenientes. Al elegir una transformación adecuada, el analista puede transformar la geometría inconveniente en una mucho más conveniente. Por ejemplo, se puede desear calcular el campo eléctrico,${\displaystyle E(z)}$, que surge de una carga puntual ubicada cerca de la esquina de dos planos conductores separados por un cierto ángulo (donde${\displaystyle z}$es la coordenada compleja de un punto en el espacio bidimensional). Este problema en sí mismo es bastante engorroso de resolver de forma cerrada. Sin embargo, empleando una transformación conforme muy simple, el ángulo inconveniente se transforma en uno de precisamente${\displaystyle \pi }$radianes, lo que significa que la esquina de dos planos se transforma en una línea recta. En este nuevo dominio, el problema (el de calcular el campo eléctrico impreso por una carga puntual ubicada cerca de una pared conductora) es bastante fácil de resolver. La solución se obtiene en este dominio,${\displaystyle E(w)}$y luego se volvió a mapear al dominio original al observar que${\displaystyle w}$se obtuvo como una función ( es decir , la composición de${\displaystyle E}$y${\displaystyle w}$) de${\displaystyle z}$, de donde${\displaystyle E(w)}$puede ser visto como${\displaystyle E(w(z))}$, que es una función de${\displaystyle z}$, la base de coordenadas original. Nótese que esta aplicación no contradice el hecho de que las transformaciones conformes conservan los ángulos, sino que lo hacen solo para puntos en el interior de su dominio, y no en el límite. Otro ejemplo es la aplicación de la técnica de transformación conforme para resolver el problema de contorno del chapoteo de líquidos en tanques. ^{[ 19 ]}

Si una función es armónica (es decir, satisface la ecuación de Laplace)${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$) sobre un dominio plano (que es bidimensional), y se transforma mediante un mapeo conforme a otro dominio plano, la transformación también es armónica. Por esta razón, cualquier función que esté definida por un potencial puede transformarse mediante un mapeo conforme y seguir estando gobernada por un potencial. Ejemplos en física de ecuaciones definidas por un potencial incluyen el campo electromagnético , el campo gravitatorio y, en dinámica de fluidos , el flujo potencial , que es una aproximación al flujo de fluidos asumiendo densidad constante , viscosidad cero y flujo irrotacional . Un ejemplo de aplicación en dinámica de fluidos de un mapeo conforme es la transformación de Joukowsky que puede usarse para examinar el campo de flujo alrededor de un perfil aerodinámico de Joukowsky.

Las transformaciones conformes también son valiosas para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales en ciertas geometrías específicas. Estas soluciones analíticas proporcionan una verificación útil de la precisión de las simulaciones numéricas de la ecuación gobernante. Por ejemplo, en el caso de un flujo de superficie libre muy viscoso alrededor de una pared semiinfinita, el dominio se puede transformar en un semiplano en el que la solución es unidimensional y fácil de calcular. ^{[ 20 ]}

Para sistemas discretos, Noury ​​y Yang presentaron una forma de convertir el lugar de las raíces de sistemas discretos en un lugar de las raíces continuo mediante una transformación conforme bien conocida en geometría (también conocida como transformación de inversión ). ^{[ 21 ]}

Las ecuaciones de Maxwell se conservan mediante transformaciones de Lorentz , que forman un grupo que incluye rotaciones circulares e hiperbólicas . Estas últimas se denominan a veces transformaciones de Lorentz para distinguirlas de las rotaciones circulares. Todas estas transformaciones son conformes, ya que las rotaciones hiperbólicas conservan el ángulo hiperbólico (llamado rapidez ) y las demás rotaciones conservan el ángulo circular . La introducción de traslaciones en el grupo de Poincaré también conserva los ángulos.

Un grupo más amplio de mapas conformes para relacionar soluciones de las ecuaciones de Maxwell fue identificado por Ebenezer Cunningham (1908) y Harry Bateman (1910). Su formación en la Universidad de Cambridge les había proporcionado facilidad con el método de cargas imagen y métodos asociados de imágenes para esferas e inversión. Como relata Andrew Warwick (2003) Masters of Theory : ^{[ 22 ]}

Cada solución de cuatro dimensiones podría invertirse en una hiperesfera de cuatro dimensiones de pseudoradio.${\displaystyle K}$con el fin de producir una nueva solución.

Warwick destaca este "nuevo teorema de la relatividad" como una respuesta de Cambridge a Einstein, y como fundamentado en ejercicios que utilizan el método de inversión, como los que se encuentran en el libro de texto de James Hopwood Jeans, Teoría matemática de la electricidad y el magnetismo .

En la relatividad general , las transformaciones conformes son el tipo más simple y, por lo tanto, el más común de transformaciones causales. Físicamente, estas describen universos diferentes en los que todos los mismos eventos e interacciones siguen siendo posibles (causalmente), pero se requiere una nueva fuerza adicional para que esto ocurra (es decir, la replicación de todas las mismas trayectorias requeriría desviaciones del movimiento geodésico porque el tensor métrico es diferente). Se utilizan a menudo para intentar que los modelos sean susceptibles de extensión más allá de las singularidades de curvatura , por ejemplo, para permitir la descripción del universo incluso antes del Big Bang .