Función antiholomórfica

En matemáticas , las funciones antiholomorfas (también llamadas funciones antianalíticas ^{[ 1 ]} ) son una familia de funciones estrechamente relacionadas con las funciones holomorfas , pero distintas de ellas .

Una función de la variable compleja${\displaystyle z}$Se dice que una función definida en un conjunto abierto en el plano complejo es antiholomorfa si su derivada con respecto a${\displaystyle {\bar {z}}}$existe en la vecindad de cada uno de los puntos de ese conjunto, donde${\displaystyle {\bar {z}}}$es el conjugado complejo de${\displaystyle z}$.

A continuación se presenta una definición de función antiholomórfica: ^{[ 1 ]}

"[una] función${\displaystyle f(z)=u+iv}$de una o más variables complejas${\displaystyle z=\left(z_{1},\dots ,z_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$[Se dice que es antiholomorfa si (y solo si)] es el conjugado complejo de una función holomorfa.${\displaystyle {\overline {f\left(z\right)}}=u-iv}$"

Se puede demostrar que si${\displaystyle f(z)}$es una función holomorfa en un conjunto abierto${\displaystyle D}$, entonces${\displaystyle f({\bar {z}})}$es una función antiholomórfica en${\displaystyle {\bar {D}}}$, dónde${\displaystyle {\bar {D}}}$es el reflejo de${\displaystyle D}$a través del eje real; en otras palabras,${\displaystyle {\bar {D}}}$es el conjunto de conjugados complejos de elementos de${\displaystyle D}$Además, cualquier función antiholomorfa puede obtenerse de esta manera a partir de una función holomorfa. Esto implica que una función es antiholomorfa si y solo si puede expandirse en una serie de potencias en${\displaystyle {\bar {z}}}$en un vecindario de cada punto en su dominio. Además, una función${\displaystyle f(z)}$es antiholomorfo en un conjunto abierto${\displaystyle D}$si y solo si la función${\displaystyle {\overline {f(z)}}}$es holomorfo en${\displaystyle D}$.

Si una función es holomorfa y antiholomorfa, entonces es constante en cualquier componente conexa de su dominio. ^{[ 2 ]}