Joukowsky transforma

En matemáticas aplicadas , la transformada de Joukowsky (a veces transliterada como Joukovsky , Joukowski o Zhukovsky ) es una transformación conforme utilizada históricamente para comprender algunos principios del diseño de perfiles aerodinámicos . Recibe su nombre de Nikolai Zhukovsky , quien la publicó en 1910. ^{[ 1 ]}

La transformada y su inversa derecha son

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},\qquad \zeta ={\tfrac {1}{2}}z\pm {\sqrt {{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}z{\bigr )}^{2}-1}}={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}z\mp {\sqrt {{\bigl (}{\tfrac) {1}{2}}z{\bigr )}^{2}-1}}}},}$

donde es una variable compleja en el nuevo espacio y es una variable compleja en el espacio original. La inversa derecha no es una inversa izquierda global porque es 2 a 1; pero una inversa izquierda local siempre es una de las ramas de la inversa derecha. ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$${\displaystyle \zeta \mapsto z}$

En aerodinámica , la transformada se utiliza para resolver el flujo potencial bidimensional alrededor de una clase de perfiles aerodinámicos conocidos como perfiles de Joukowsky. Un perfil de Joukowsky se genera en el plano complejo ( plano ) aplicando la transformada de Joukowsky a un círculo en el plano . Las coordenadas del centro del círculo son variables, y al variarlas se modifica la forma del perfil resultante. El círculo encierra el punto (donde la derivada es cero) e interseca el punto Esto se puede lograr para cualquier posición central permitida variando el radio del círculo. ${\displaystyle z}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta =-1}$${\displaystyle \zeta =1.}$${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$

Los perfiles aerodinámicos de Joukowsky presentan una cúspide en su borde de salida . Una transformación conforme estrechamente relacionada, la transformación de Kármán-Trefftz , genera la clase más amplia de perfiles aerodinámicos de Kármán-Trefftz al controlar el ángulo del borde de salida. Cuando se especifica un ángulo de borde de salida de cero, la transformación de Kármán-Trefftz se reduce a la transformación de Joukowsky.

La transformada de Joukowsky de cualquier número complejo es la siguiente: ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Entonces, los componentes real ( ) e imaginario ( ) son:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

La transformación de todos los números complejos en el círculo unitario es un caso especial.

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

lo cual da

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

Entonces el componente real se convierte en y el componente imaginario se convierte en . ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

De este modo, el círculo unitario complejo se corresponde con una placa plana en la recta numérica real, desde -2 hasta +2.

Las transformaciones a partir de otros círculos dan lugar a una amplia gama de formas de perfiles aerodinámicos.

La solución al flujo potencial alrededor de un cilindro circular es analítica y bien conocida. Es la superposición de un flujo uniforme , un doblete y un vórtice .

La velocidad conjugada compleja alrededor del círculo en el plano es ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$${\displaystyle \zeta }$$${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

dónde

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$es la coordenada compleja del centro del círculo,
• ${\displaystyle V_{\infty }}$es la velocidad de flujo libre del fluido,

${\displaystyle \alpha }$es el ángulo de ataque del perfil aerodinámico con respecto al flujo libre,

• ${\displaystyle R}$es el radio del círculo, calculado usando ,${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$es la circulación , hallada mediante la condición de Kutta , que en este caso se reduce a$${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

La velocidad compleja alrededor del perfil aerodinámico en el plano es, según las reglas de mapeo conforme y utilizando la transformación de Joukowsky, ${\displaystyle W}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

Aquí , con y las componentes de velocidad en las direcciones y respectivamente ( con y de valor real). A partir de esta velocidad, se pueden calcular otras propiedades de interés del flujo, como el coeficiente de presión y la sustentación por unidad de longitud.${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z=x+iy,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

La transformación de Kármán-Trefftz es un mapeo conforme estrechamente relacionado con la transformación de Joukowsky. Mientras que un perfil aerodinámico de Joukowsky tiene un borde de salida con cúspide, un perfil aerodinámico de Kármán-Trefftz —que es el resultado de la transformación de un círculo en el plano al plano físico, análogo a la definición del perfil aerodinámico de Joukowsky— tiene un ángulo distinto de cero en el borde de salida, entre la superficie superior e inferior del perfil aerodinámico. Por lo tanto, la transformación de Kármán-Trefftz requiere un parámetro adicional: el ángulo del borde de salida. Esta transformación es ^{[ 2 ] [ 3 ].}${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha .}$

donde es una constante real que determina las posiciones donde , y es ligeramente menor que 2. El ángulo entre las tangentes de las superficies superior e inferior del perfil aerodinámico en el borde de salida está relacionado con como ^{[ 2 ]}${\displaystyle b}$${\displaystyle dz/d\zeta =0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

La derivada , necesaria para calcular el campo de velocidad, es ${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

Primero, suma y resta 2 a la transformada de Joukowsky, como se indica arriba:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

Dividiendo los lados izquierdo y derecho se obtiene

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

El lado derecho contiene (como factor) la ley simple de segunda potencia de la teoría del flujo potencial , aplicada en el borde de salida cerca de la teoría del mapeo conforme, se sabe que este mapeo cuadrático cambia un semiplano en el espacio en un flujo potencial alrededor de una línea recta semiinfinita. Además, los valores de la potencia menores que 2 darán como resultado un flujo alrededor de un ángulo finito. Por lo tanto, al cambiar la potencia en la transformada de Joukowsky a un valor ligeramente menor que 2, el resultado es un ángulo finito en lugar de una cúspide. Reemplazar 2 por en la ecuación anterior da ^{[ 2 ]}${\displaystyle \zeta =+1.}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

que es la transformada de Kármán-Trefftz. Al resolverla se obtiene la forma de la ecuación A.${\displaystyle z}$

En 1943, Hsue-shen Tsien publicó una transformación de un círculo de radio en un perfil aerodinámico simétrico que depende del parámetro y del ángulo de inclinación : ^{[ 4 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

El parámetro produce una placa plana cuando es cero y un círculo cuando es infinito; por lo tanto, corresponde al espesor del perfil aerodinámico. Además, el radio del cilindro . ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle a=1+\epsilon }$

• Applet de la NASA de Joukowski Transform
• Aplicación web interactiva de transformación de Joukowsky