Teorema de la monodromía

En análisis complejo , el teorema de monodromía es un resultado importante sobre la continuación analítica de una función analítica compleja a un conjunto mayor. La idea es que se puede extender una función analítica compleja (en adelante, simplemente función analítica ) a lo largo de curvas que parten del dominio original de la función y terminan en el conjunto mayor. Un problema potencial de esta estrategia de continuación analítica a lo largo de una curva es que, por lo general, existen muchas curvas que terminan en el mismo punto del conjunto mayor. El teorema de monodromía proporciona condiciones suficientes para que la continuación analítica dé el mismo valor en un punto dado, independientemente de la curva utilizada para llegar a él, de modo que la función analítica extendida resultante esté bien definida y sea unívoca.

Antes de enunciar este teorema, es necesario definir la continuación analítica a lo largo de una curva y estudiar sus propiedades.

La definición de continuación analítica a lo largo de una curva es un tanto técnica, pero la idea básica es que se parte de una función analítica definida alrededor de un punto y se extiende esa función a lo largo de una curva mediante funciones analíticas definidas en pequeños discos superpuestos que cubren dicha curva.

Formalmente, consideremos una curva (una función continua ).${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to \mathbb {C} .} Sea${\displaystyle f}$sea ​​una función analítica definida en un disco abierto${\displaystyle U}$centrado en${\displaystyle \gamma (0).}$Una continuación analítica del par${\displaystyle (f,U)}$a lo largo de${\displaystyle \gamma }$es una colección de pares${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$para${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$de tal manera que

• ${\displaystyle f_{0}=f}$y${\displaystyle U_{0}=U.}$

• Para cada${\displaystyle t\in [0,1],U_{t}}$es un disco abierto centrado en${\displaystyle \gamma (t)}$y${\displaystyle f_{t}:U_{t}\to \mathbb {C} }$es una función analítica.

• Para cada${\displaystyle t\in [0,1]}$existe${\displaystyle \varepsilon >0}$de tal manera que para todos${\displaystyle t'\in [0,1]}$con${\displaystyle |tt'|<\varepsilon }$uno tiene eso${\displaystyle \gamma (t')\in U_{t}}$(lo que implica que${\displaystyle U_{t}}$y${\displaystyle U_{t'}}$tienen una intersección no vacía ) y las funciones${\displaystyle f_{t}}$y${\displaystyle f_{t'}}$coinciden en la intersección${\displaystyle U_{t}\cap U_{t'}.}$

La continuación analítica a lo largo de una curva es esencialmente única , en el sentido de que dadas dos continuaciones analíticas${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$y${\displaystyle (g_{t},V_{t})}$${\displaystyle (0\leq t\leq 1)}$de${\displaystyle (f,U)}$a lo largo de${\displaystyle \gamma ,}$las funciones${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle g_{1}}$coincidir en${\displaystyle U_{1}\cap V_{1}.}$De manera informal, esto significa que cualesquiera dos continuaciones analíticas de ${\displaystyle (f,U)}$a lo largo de${\displaystyle \gamma }$terminarán con los mismos valores en un vecindario de${\displaystyle \gamma (1).}$

Si la curva${\displaystyle \gamma }$está cerrado (es decir,${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$), uno no necesita tener${\displaystyle f_{0}}$igual${\displaystyle f_{1}}$en un barrio de${\displaystyle \gamma (0).}$Por ejemplo, si uno comienza en un punto${\displaystyle (a,0)}$con${\displaystyle a>0}$y el logaritmo complejo definido en un entorno de este punto, y uno deja${\displaystyle \gamma }$sea ​​el círculo de radio${\displaystyle a}$centrado en el origen (viajó en sentido contrario a las agujas del reloj desde${\displaystyle (a,0)}$), entonces, al realizar una continuación analítica a lo largo de esta curva, se obtendrá un valor del logaritmo en${\displaystyle (a,0)}$que es${\displaystyle 2\pi i}$más el valor original (véase la segunda ilustración de la derecha).

Como se mencionó anteriormente, dos continuaciones analíticas a lo largo de la misma curva dan el mismo resultado en el extremo de la curva. Sin embargo, dadas dos curvas diferentes que parten del mismo punto alrededor del cual se define una función analítica, y que se vuelven a unir al final, no es cierto, en general, que las continuaciones analíticas de esa función a lo largo de ambas curvas den el mismo valor en su extremo común.

En efecto, se puede considerar, como en la sección anterior, el logaritmo complejo definido en un entorno de un punto.${\displaystyle (a,0)}$y el círculo centrado en el origen y radio${\displaystyle a.}$Entonces, es posible viajar desde${\displaystyle (a,0)}$a${\displaystyle (-a,0)}$de dos maneras, en sentido antihorario, en el arco del semiplano superior de este círculo, y en sentido horario, en el arco del semiplano inferior. Los valores del logaritmo en${\displaystyle (-a,0)}$Los resultados obtenidos mediante continuación analítica a lo largo de estos dos arcos diferirán en:${\displaystyle 2\pi i.}$

Sin embargo, si es posible deformar continuamente una de las curvas para transformarla en otra, manteniendo fijos los puntos de inicio y final, y si es posible realizar una continuación analítica en cada una de las curvas intermedias, entonces las continuaciones analíticas a lo largo de ambas curvas darán como resultado el mismo resultado en su punto final común. Esto se conoce como el teorema de la monodromía , y su enunciado se detalla a continuación.

Dejar${\displaystyle U}$sea ​​un disco abierto en el plano complejo centrado en un punto${\displaystyle P}$y${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$Sea una función analítica compleja.${\displaystyle Q}$ser otro punto en el plano complejo. Si existe una familia de curvas${\displaystyle \gamma _{s}:[0,1]\to \mathbb {C} }$con${\displaystyle s\in [0,1]}$de tal manera que${\displaystyle \gamma _{s}(0)=P}$y${\displaystyle \gamma _{s}(1)=Q}$a pesar de${\displaystyle s\in [0,1],}$la función${\displaystyle (s,t)\in [0,1]\times [0,1]\mapsto \gamma _{s}(t)\in \mathbb {C} }$es continuo, y para cada${\displaystyle s\in [0,1]}$es posible realizar una continuación analítica de${\displaystyle f}$a lo largo de${\displaystyle \gamma _{s},}$luego las continuaciones analíticas de${\displaystyle f}$a lo largo de${\displaystyle \gamma _{0}}$y${\displaystyle \gamma _{1}}$producirá los mismos valores en${\displaystyle Q.}$

El teorema de la monodromía permite extender una función analítica a un conjunto mayor mediante curvas que conectan un punto del dominio original de la función con puntos del conjunto mayor. El siguiente teorema, que establece que, también se denomina teorema de la monodromía.

Dejar${\displaystyle U}$sea ​​un disco abierto en el plano complejo centrado en un punto${\displaystyle P}$y${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$sea ​​una función analítica compleja. Si${\displaystyle W}$es un conjunto abierto simplemente conexo que contiene${\displaystyle U,}$y es posible realizar una continuación analítica de${\displaystyle f}$en cualquier curva contenida en${\displaystyle W}$que comienza en${\displaystyle P,}$entonces${\displaystyle f}$admite una continuación analítica directa a${\displaystyle W,}$lo que significa que existe una función analítica compleja${\displaystyle g:W\to \mathbb {C} }$cuya restricción a${\displaystyle U}$es${\displaystyle f.}$

• continuación analítica
• Monodromía

• Krantz, Steven G. (1999). Manual de variables complejas . Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.
• Jones, Gareth A.; Singerman, David (1987). Funciones complejas: una perspectiva algebraica y geométrica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-31366-X.

• Triebel, Hans (1986). Análisis y física matemática, ed. inglesa . Pub D. Reidel. ISBN del condado 90-277-2077-0.

• Teorema de monodromía en MathWorld
• Teorema de la monodromía en PlanetMath .
• Teorema de la monodromía en la Enciclopedia de Matemáticas