Método espectral

Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales . La idea consiste en expresar la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas " funciones base " (por ejemplo, como una serie de Fourier , que es una suma de funciones sinusoidales ) y luego elegir los coeficientes de dicha suma para satisfacer la ecuación diferencial de la mejor manera posible.

Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; la principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales utilizan funciones base que generalmente no son cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan funciones base que no son cero solo en subdominios pequeños ( soporte compacto ). En consecuencia, los métodos espectrales conectan variables globalmente mientras que los elementos finitos lo hacen localmente . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible, cuando la solución es suave . Sin embargo, no se conocen resultados tridimensionales de captura de choques espectrales de un solo dominio (las ondas de choque no son suaves). ^{[ 1 ]} En la comunidad de elementos finitos, un método donde el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que aumenta el parámetro de la malla h se denomina a veces método de elementos espectrales .

Los métodos espectrales se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales (EDP, EDO, valores propios, etc.) ^{[ 2 ]} y problemas de optimización . Al aplicar métodos espectrales a EDP dependientes del tiempo, la solución se escribe típicamente como una suma de funciones base con coeficientes dependientes del tiempo; al sustituir esto en la EDP se obtiene un sistema de EDO en los coeficientes que se puede resolver utilizando cualquier método numérico para EDO . ^{[ 3 ]} Los problemas de valores propios para EDO se convierten de manera similar en problemas de valores propios de matrices .

Los métodos espectrales fueron desarrollados en una extensa serie de artículos por Steven Orszag a partir de 1969, incluyendo, entre otros, métodos de series de Fourier para problemas de geometría periódica, métodos espectrales polinomiales para problemas de geometría finita e ilimitada, métodos pseudoespectrales para problemas altamente no lineales y métodos de iteración espectral para la resolución rápida de problemas de estado estacionario. La implementación del método espectral se realiza normalmente mediante colocación , o bien mediante el método de Galerkin o el método Tau . Para problemas muy pequeños, el método espectral es único, ya que las soluciones pueden expresarse simbólicamente, lo que proporciona una alternativa práctica a las soluciones en serie para ecuaciones diferenciales.

Los métodos espectrales pueden ser computacionalmente menos costosos y más fáciles de implementar que los métodos de elementos finitos; destacan especialmente cuando se busca alta precisión en dominios simples con soluciones suaves. Sin embargo, debido a su naturaleza global, las matrices asociadas con el cálculo de pasos son densas y la eficiencia computacional se ve rápidamente afectada cuando hay muchos grados de libertad (con algunas excepciones, por ejemplo, si las aplicaciones matriciales se pueden expresar como transformadas de Fourier ). Para problemas más grandes y soluciones no suaves, los elementos finitos generalmente funcionan mejor debido a las matrices dispersas y a un mejor modelado de discontinuidades y curvas pronunciadas.

Ejemplos de métodos espectrales

Un ejemplo concreto y lineal

Aquí presuponemos una comprensión del cálculo multivariable básico y las series de Fourier . Si $g(x,y)$ es una función conocida de valor complejo de dos variables reales, y g es periódica en x e y (es decir, $g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )$ ) entonces estamos interesados en encontrar una función f ( x , y ) tal que

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y$

donde la expresión de la izquierda denota las segundas derivadas parciales de f con respecto a x e y , respectivamente. Esta es la ecuación de Poisson y puede interpretarse físicamente como un problema de conducción de calor o un problema de teoría del potencial, entre otras posibilidades.

Si escribimos f y g en series de Fourier:

${\begin{aligned}f&=:\sum _{j,k}a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum _{j,k}b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}$

y al sustituir en la ecuación diferencial, obtenemos esta ecuación:

$\sum _{j,k}-a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum _{j,k}b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.$

Hemos intercambiado la diferenciación parcial por una suma infinita, lo cual es legítimo si asumimos, por ejemplo, que f tiene una segunda derivada continua. Por el teorema de unicidad para expansiones de Fourier, debemos igualar los coeficientes de Fourier término por término, obteniendo

que es una fórmula explícita para los coeficientes de Fourier a _{j , k} .

Con condiciones de contorno periódicas, la ecuación de Poisson solo tiene solución si b _0,0 = 0. Por lo tanto, podemos elegir libremente a _0,0 , que será igual a la media de la resolución. Esto equivale a elegir la constante de integración.

Para convertir esto en un algoritmo, solo se resuelven un número finito de frecuencias. Esto introduce un error que se puede demostrar que es proporcional a $h^{n}$ , dónde $h:=1/n$ y $n$ es la frecuencia más alta tratada.

Algoritmo

Calcula la transformada de Fourier ( b _{j , k} ) de g .
Calcula la transformada de Fourier ( a _{j , k} ) de f mediante la fórmula ( * ) .
Calcula f tomando una transformada inversa de Fourier de ( a _j,k ).

Dado que solo nos interesa una ventana finita de frecuencias (de tamaño n , por ejemplo), esto se puede hacer utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier . Por lo tanto, globalmente el algoritmo se ejecuta en tiempo O ( n log n ).

Ejemplo no lineal

Deseamos resolver la ecuación de Burgers forzada, transitoria y no lineal utilizando un enfoque espectral.

Dado $u(x,0)$ en el dominio periódico $x\in \left[0,2\pi \right)$ , encontrar $u\in {\mathcal {U}}$ de tal manera que ${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0$ donde ρ es el coeficiente de viscosidad . En forma conservativa débil, esto se convierte en: $\left\langle {\frac {\partial u}{\partial t}},\,v\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial }{\partial x}}{\left(-{\frac {u^{2}}{2}}+\rho {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)},\,v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0$ donde sigue la notación del producto interno . Integrar por partes y usar periodicidad otorga $\left\langle {\frac {\partial u}{\partial t}},v\right\rangle =\left\langle {\frac {u^{2}}{2}}-\rho {\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.$

Para aplicar el método de Fourier-Galerkin , elija ambos ${\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}$ y ${\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}$ dónde ${\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle$ Esto reduce el problema a encontrar $u\in {\mathcal {U}}^{N}$ de tal manera que $\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.$

Utilizando la relación de ortogonalidad $\langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}$ dónde $\delta _{lk}$ es la delta de Kronecker , simplificamos los tres términos anteriores para cada uno $k$ ver $\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle ={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},$ $\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{\!l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{\!k},$ y ${\begin{aligned}\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}$

Reúna los tres términos para cada uno $k$ para obtener $2\pi {\frac {\partial {\hat {u}}_{k}}{\partial t}}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{\!k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.$ Dividiendo a través de por $2\pi$ , finalmente llegamos a ${\frac {\partial {\hat {u}}_{k}}{\partial t}}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{\!k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.$ Con condiciones iniciales transformadas de Fourier ${\hat {u}}_{k}(0)$ y obligando ${\hat {f}}_{k}(t)$ Este sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias puede integrarse en el tiempo (utilizando, por ejemplo, una técnica de Runge-Kutta ) para hallar una solución. El término no lineal es una convolución , y existen diversas técnicas basadas en transformadas para evaluarlo de forma eficiente. Consulte las referencias de Boyd y Canuto et al. para obtener más detalles.

Una relación con el método de elementos espectrales

Se puede demostrar que si $g$ Si es infinitamente diferenciable, entonces el algoritmo numérico que utiliza transformadas rápidas de Fourier convergerá más rápido que cualquier polinomio en el tamaño de la cuadrícula h. Es decir, para cualquier n>0, existe un $C_{n}<\infty$ de tal manera que el error sea menor que $C_{n}h^{n}$ para todos los valores suficientemente pequeños de $h$ Decimos que el método espectral es de orden $n$ , para cada n>0.

Dado que el método de elementos espectrales es un método de elementos finitos de orden muy alto, existe una similitud en las propiedades de convergencia. Sin embargo, mientras que el método espectral se basa en la descomposición en valores propios del problema de contorno particular, el método de elementos finitos no utiliza esa información y funciona para problemas de contorno elípticos arbitrarios .

Véase también

Referencias

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