Problema de valor límite elíptico

En matemáticas , un problema de valor límite elíptico es un tipo especial de problema de valor límite que puede considerarse como el estado estable de un problema de evolución. Por ejemplo, el problema de Dirichlet para el laplaciano proporciona la distribución final del calor en una habitación varias horas después de que se enciende la calefacción.

Las ecuaciones diferenciales describen una amplia clase de fenómenos naturales, desde la ecuación del calor, que describe la evolución del calor en (por ejemplo) una placa de metal, hasta la ecuación de Navier-Stokes , que describe el movimiento de fluidos, pasando por las ecuaciones de Einstein, que describen el universo físico de forma relativista. Aunque todas estas ecuaciones son problemas de valores límite, se subdividen en categorías. Esto es necesario porque cada categoría debe analizarse utilizando técnicas diferentes. El presente artículo trata de la categoría de problemas de valores límite conocida como problemas elípticos lineales.

Los problemas de valores en la frontera y las ecuaciones diferenciales parciales especifican relaciones entre dos o más magnitudes. Por ejemplo, en la ecuación del calor, la tasa de cambio de temperatura en un punto está relacionada con la diferencia de temperatura entre ese punto y los puntos cercanos, de modo que, con el tiempo, el calor fluye desde los puntos más calientes a los más fríos. Los problemas de valores en la frontera pueden involucrar espacio, tiempo y otras magnitudes como temperatura, velocidad, presión, campo magnético, etc.

Algunos problemas no tienen que ver con el tiempo. Por ejemplo, si se cuelga un tendedero entre la casa y un árbol, en ausencia de viento, el tendedero no se moverá y adoptará una forma curva suave y colgante conocida como catenaria . [ ^1] Esta forma curva se puede calcular como la solución de una ecuación diferencial que relaciona la posición, la tensión, el ángulo y la gravedad, pero como la forma no cambia con el tiempo, no hay variable temporal.

Los problemas de valores límite elípticos son una clase de problemas que no involucran la variable tiempo y, en cambio, solo dependen de variables espaciales.

En dos dimensiones, sean las coordenadas. Usaremos la notación para la primera y segunda derivadas parciales de con respecto a , y una notación similar para . Usaremos los símbolos y para los operadores diferenciales parciales en y . Las segundas derivadas parciales se denotarán y . También definimos el gradiente , el operador de Laplace y la divergencia . Observe que, de las definiciones , . ${\estilo de visualización x,y}$${\displaystyle u_{x},u_{xx}}$${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$$Estilo de visualización D_{x}}$${\displaystyle D_{y}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$$Estilo de visualización D_{x}^{2}}$$Estilo de visualización D_{y}^{2}}$${\displaystyle \nabla u=(u_ {x},u_ {y})}$ ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}}$${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=u_ {x}+v_ {y}}$${\displaystyle \Delta u=\nabla \cdot (\nabla u)}$

El principal ejemplo de problemas de valores en la frontera es el operador de Laplace,

${\displaystyle \Delta u=f{\text{ en }}\Omega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{ en }}\parcial \Omega ;}$

donde es una región en el plano y es el límite de esa región. La función es un dato conocido y la solución es lo que se debe calcular. Este ejemplo tiene las mismas propiedades esenciales que todos los demás problemas de valores de contorno elípticos. ${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización u}$

La solución se puede interpretar como la distribución estacionaria o límite del calor en una placa metálica con forma de , si esta placa metálica tiene su límite adyacente al hielo (que se mantiene a cero grados, de ahí la condición de límite de Dirichlet ). La función representa la intensidad de la generación de calor en cada punto de la placa (quizás haya un calentador eléctrico apoyado sobre la placa metálica, bombeando calor hacia la placa a una velocidad , que no varía con el tiempo, pero puede no ser uniforme en el espacio sobre la placa metálica). Después de esperar mucho tiempo, la distribución de temperatura en la placa metálica se acercará a . ${\estilo de visualización u}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización u}$

Sea donde y son constantes. se llama operador diferencial de segundo orden . Si reemplazamos formalmente las derivadas por y por , obtenemos la expresión ${\displaystyle Lu=au_{xx}+bu_{yy}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$$Estilo de visualización L=aD_{x}^{2}+bD_{y}^{2}}$$Estilo de visualización D_{x}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle D_{y}}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}}$.

Si igualamos esta expresión a alguna constante , obtenemos una elipse (si todas son del mismo signo) o una hipérbola (si y son de signos opuestos). Por esa razón, se dice que es elíptica cuando y hiperbólica si . De manera similar, el operador conduce a una parábola , y por lo tanto se dice que esta es parabólica. ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización a,b,k}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización L}$${\displaystyle ab>0}$${\displaystyle ab<0}$$Estilo de visualización L=D_{x}+D_{y}^{2}}$${\estilo de visualización L}$

Ahora generalizamos la noción de elipticidad. Si bien puede que no sea obvio que nuestra generalización sea la correcta, resulta que sí conserva la mayoría de las propiedades necesarias para el propósito del análisis.

Sean las variables espaciales. Sean funciones de valor real de . Sea un operador lineal de segundo grado. Es decir, ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x)}$${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$${\estilo de visualización L}$

${\displaystyle Lu(x)=\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x)}$(forma de divergencia).

${\displaystyle Lu(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{\tilde {b}}_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x)}$(forma de no divergencia)

Hemos utilizado el subíndice para denotar la derivada parcial con respecto a la variable espacial . Las dos fórmulas son equivalentes, siempre que ${\displaystyle \cdot_{x_{i}}}$$Estilo de visualización x_{i}}$

${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}(x)=b_{i}(x)+\sum _{j}a_{ij,x_{j}}(x)}$.

En notación matricial, podemos dejar que sea una función matricial de y que sea una función de vector columna -dimensional de , y luego podemos escribir ${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle n\veces n}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización b(x)}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$

${\displaystyle Lu=\nabla \cdot (a\nabla u)+b^{T}\nabla u+cu}$(forma de divergencia).

Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que la matriz es simétrica (es decir, para todos los , . Hacemos esa suposición en el resto de este artículo. ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización i,j,x}$${\displaystyle a_{ij}(x)=a_{ji}(x)}$

Decimos que el operador es elíptico si, para alguna constante , se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\estilo de visualización L}$${\displaystyle \alpha >0}$

1. ${\displaystyle \lambda _{\min }(a(x))>\alpha \;\;\;\para todo x}$(ver valor propio ).
2. ${\displaystyle u^{T}a(x)u>\alpha u^{T}u\;\;\;\para todo u\en \mathbb {R} ^{n}}$.
3. ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}u_{i}u_{j}>\alpha \sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Un problema de valor límite elíptico es entonces un sistema de ecuaciones como

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$(la PDE) y

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$(el valor límite).

Este ejemplo en particular es el problema de Dirichlet . El problema de Neumann es

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$y

${\displaystyle u_{\nu }=g{\text{ on }}\partial \Omega }$

donde es la derivada de en la dirección de la normal que apunta hacia afuera de . En general, si es cualquier operador de traza , se puede construir el problema de valor límite ${\displaystyle u_{\nu }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$y

${\displaystyle Bu=g{\text{ on }}\partial \Omega }$.

En el resto de este artículo, asumiremos que es elíptica y que la condición de contorno es la condición de Dirichlet . ${\displaystyle L}$${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$

El análisis de problemas de valores de contorno elípticos requiere algunas herramientas bastante sofisticadas de análisis funcional . Requerimos el espacio , el espacio de Sobolev de funciones "una vez diferenciables" en , de modo que tanto la función como sus derivadas parciales , sean todas integrables al cuadrado . Hay una sutileza aquí en que las derivadas parciales deben definirse "en el sentido débil" (ver el artículo sobre espacios de Sobolev para más detalles). El espacio es un espacio de Hilbert , lo que explica en gran medida la facilidad con la que se analizan estos problemas. ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{x_{i}}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$${\displaystyle H^{1}}$

La discusión en detalle de los espacios de Sobolev está más allá del alcance de este artículo, pero citaremos los resultados requeridos a medida que surjan.

A menos que se indique lo contrario, todas las derivadas en este artículo deben interpretarse en el sentido débil, de Sobolev. Usamos el término "derivada fuerte" para referirnos a la derivada clásica del cálculo. También especificamos que los espacios , consisten en funciones que son fuertemente diferenciables y que la derivada n es continua. ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k=0,1,\dots }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

El primer paso para plantear el problema de los valores en la frontera en el lenguaje de los espacios de Sobolev es reformularlo en su forma débil. Consideremos el problema de Laplace . Multipliquemos cada lado de la ecuación por una "función de prueba" e integremos por partes utilizando el teorema de Green para obtener ${\displaystyle \Delta u=f}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int _{\partial \Omega }u_{\nu }\varphi =\int _{\Omega }f\varphi }$.

Resolveremos el problema de Dirichlet, de modo que . Por razones técnicas, es útil suponer que se toma del mismo espacio de funciones que , por lo que también suponemos que . Esto elimina el término, lo que da como resultado ${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi =0{\text{ on }}\partial \Omega }$${\displaystyle \int _{\partial \Omega }}$

${\displaystyle A(u,\varphi )=F(\varphi )}$(*)

dónde

${\displaystyle A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi }$y

${\displaystyle F(\varphi )=-\int _{\Omega }f\varphi }$.

Si es un operador elíptico general, el mismo razonamiento conduce a la forma bilineal ${\displaystyle L}$

${\displaystyle A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u^{T}a\nabla \varphi -\int _{\Omega }b^{T}\nabla u\varphi -\int _{\Omega }cu\varphi }$.

No discutimos el problema de Neumann, pero observamos que se analiza de manera similar.

La función se define en el espacio de Sobolev de funciones que son una vez diferenciables y cero en el límite , siempre que impongamos algunas condiciones en y . Hay muchas opciones posibles, pero para el propósito de este artículo, asumiremos que ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle H_{0}^{1}\subset H^{1}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \Omega }$

1. ${\displaystyle a_{ij}(x)}$es continuamente diferenciable en para${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$${\displaystyle i,j=1,\dots ,n,}$
2. ${\displaystyle b_{i}(x)}$es continuo para${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$
3. ${\displaystyle c(x)}$es continua en y${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$
4. ${\displaystyle \Omega }$está delimitado.

El lector puede verificar que la función es además bilineal y continua , y que la función es lineal en y continua si (por ejemplo) es integrable al cuadrado. ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle F(\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$

Decimos que el mapa es coercitivo si existe un para todos , ${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle u,\varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle A(u,\varphi )\geq \alpha \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi .}$

Esto es trivialmente cierto para el laplaciano (con ) y también es cierto para un operador elíptico si suponemos y . (Recuerde que cuando es elíptico). ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle c\leq 0}$${\displaystyle u^{T}au>\alpha u^{T}u}$${\displaystyle L}$

Se puede demostrar, mediante el lema de Lax-Milgram , que siempre que es coercitivo y es continuo, entonces existe una solución única al problema débil (*). ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle F(\varphi )}$${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

Si además es simétrico (es decir, ), se puede demostrar el mismo resultado utilizando el teorema de representación de Riesz . ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle b=0}$

Esto se basa en el hecho de que forma un producto interno en , que a su vez depende de la desigualdad de Poincaré . ${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

Hemos demostrado que existe una que resuelve el sistema débil, pero no sabemos si esto resuelve el sistema fuerte. ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega ,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega ,}$

Lo que es aún más desconcertante es que ni siquiera estamos seguros de que sea dos veces diferenciable, lo que hace que las expresiones en parezcan carecer de sentido. Hay muchas maneras de remediar la situación, la principal de ellas es la regularidad . ${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{x_{i}x_{j}}}$${\displaystyle Lu}$

Un teorema de regularidad para un problema de valor límite elíptico lineal de segundo orden toma la forma

Teorema Si (alguna condición), entonces la solución está en , el espacio de funciones "dos veces diferenciables" cuyas segundas derivadas son integrables al cuadrado.${\displaystyle u}$${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$

No se conoce ninguna condición simple necesaria y suficiente para que se cumpla la conclusión del teorema, pero se sabe que las siguientes condiciones son suficientes:

1. El límite de es , o${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$
2. ${\displaystyle \Omega }$es convexo

Puede ser tentador inferir que si es por partes entonces de hecho está en , pero desafortunadamente eso es falso. ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H^{2}}$

En el caso de que entonces las segundas derivadas de estén definidas casi en todas partes , y en ese caso casi en todas partes. ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Lu=f}$

Se puede demostrar además que si el límite de es una variedad suave y es infinitamente diferenciable en sentido fuerte, entonces es también infinitamente diferenciable en sentido fuerte. En este caso, con la definición fuerte de la derivada. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Lu=f}$

La prueba de esto se basa en un teorema de regularidad mejorado que dice que si es y , entonces , junto con un teorema de incrustación de Sobolev que dice que las funciones en también son en siempre que . ${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f\in H^{k-2}(\Omega )}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle C^{m}({\bar {\Omega }})}$${\displaystyle 0\leq m<k-n/2}$

Si bien en circunstancias excepcionales es posible resolver problemas elípticos de forma explícita, en general es una tarea imposible. La solución natural es aproximar el problema elíptico con uno más simple y resolver este problema más simple en una computadora.

Debido a las buenas propiedades que hemos enumerado (así como muchas otras que no), existen solucionadores numéricos extremadamente eficientes para problemas de valores límite elípticos lineales (consulte el método de elementos finitos , el método de diferencias finitas y el método espectral para ver ejemplos).

Otro teorema de incrustación de Sobolev establece que la inclusión es una función lineal compacta. Con el teorema espectral para operadores lineales compactos, se obtiene el siguiente resultado. ${\displaystyle H^{1}\subset L^{2}}$

Teorema Supóngase que es coercitivo, continuo y simétrico. La función de a es una función lineal compacta. Tiene una base de vectores propios y valores propios correspondientes tales que${\displaystyle A(u,\varphi )}$${\displaystyle S:f\rightarrow u}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots \in H^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots \in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle Su_{k}=\lambda _{k}u_{k},k=1,2,\dots ,}$
2. ${\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow 0}$ como ,${\displaystyle k\rightarrow \infty }$
3. ${\displaystyle \lambda _{k}\gneqq 0\;\;\forall k}$,
4. ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{j}u_{k}=0}$ Cuando sea y${\displaystyle j\neq k}$
5. ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{j}u_{j}=1}$ a pesar de ${\displaystyle j=1,2,\dots \,.}$

Si uno ha calculado los valores propios y los vectores propios, entonces puede encontrar la solución "explícita" de , ${\displaystyle Lu=f}$

${\displaystyle u=\sum _{k=1}^{\infty }{\hat {u}}(k)u_{k}}$

a través de la fórmula

${\displaystyle {\hat {u}}(k)=\lambda _{k}{\hat {f}}(k),\;\;k=1,2,\dots }$

dónde

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }f(x)u_{k}(x)\,dx.}$

(Véase serie de Fourier .)

La serie converge en . Implementado en una computadora mediante aproximaciones numéricas, esto se conoce como el método espectral . ${\displaystyle L^{2}}$

Considere el problema

${\displaystyle u-u_{xx}-u_{yy}=f(x,y)=xy}$en${\displaystyle (0,1)\times (0,1),}$

${\displaystyle u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0\;\;\forall (x,y)\in (0,1)\times (0,1)}$(Condiciones de Dirichlet).

El lector puede verificar que los vectores propios son exactamente

${\displaystyle u_{jk}(x,y)=\sin(\pi jx)\sin(\pi ky)}$,${\displaystyle j,k\in \mathbb {N} }$

con valores propios

${\displaystyle \lambda _{jk}={1 \over 1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2}}.}$

Los coeficientes de Fourier de se pueden consultar en una tabla, obteniendo . Por lo tanto, ${\displaystyle g(x)=x}$${\displaystyle {\hat {g}}(n)={(-1)^{n+1} \over \pi n}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(j,k)={(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk}}$

dando como resultado la solución

${\displaystyle u(x,y)=\sum _{j,k=1}^{\infty }{(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk(1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2})}\sin(\pi jx)\sin(\pi ky).}$

Existen muchas variantes del principio de máxima. Te presentamos una sencilla.

Teorema. (Principio del máximo débil). Sea , y supongamos que . Digamos que en . Entonces . En otras palabras, se alcanza el máximo en el límite.${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\bar {\Omega }})}$${\displaystyle c(x)=0\;\forall x\in \Omega }$${\displaystyle Lu\leq 0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \max _{x\in {\bar {\Omega }}}u(x)=\max _{x\in \partial \Omega }u(x)}$

Un principio de máximo fuerte concluiría que para todo, a menos que sea constante. ${\displaystyle u(x)\lneqq \max _{y\in \partial \Omega }u(y)}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle u}$

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 19. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.