Espacio simplemente conectado

En topología , un espacio topológico se denomina simplemente conexo (o 1-conexo , o 1-simplemente conexo ^{[ 1 ]} ) si es conexo por caminos y cualquier camino entre dos puntos puede transformarse continuamente en cualquier otro camino de este tipo conservando los dos puntos extremos en cuestión. Intuitivamente, esto corresponde a un espacio que no tiene partes disjuntas ni agujeros que lo atraviesen completamente, ya que dos caminos que rodean lados opuestos de dicho agujero no pueden transformarse continuamente entre sí. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador de que el espacio no es simplemente conexo: un espacio topológico conexo por caminos es simplemente conexo si y solo si su grupo fundamental es trivial.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$se denomina simplemente conectado si está conectado por caminos y cualquier bucle en${\displaystyle X}$definido por${\displaystyle f:S^{1}\to X}$puede contraerse hasta un punto: existe un mapa continuo${\displaystyle F:D^{2}\to X}$de tal manera que${\displaystyle F}$restringido a${\displaystyle S^{1}}$es${\displaystyle f.}$Aquí,${\displaystyle S^{1}}$y${\displaystyle D^{2}}$denota el círculo unitario y el disco unitario cerrado en el plano euclidiano , respectivamente.

Una formulación equivalente es la siguiente:${\displaystyle X}$está simplemente conectado si y solo si está conectado por caminos, y siempre que${\displaystyle p:[0,1]\to X}$y${\displaystyle q:[0,1]\to X}$son dos caminos (es decir, mapas continuos) con el mismo punto de inicio y final (${\displaystyle p(0)=q(0)}$y${\displaystyle p(1)=q(1)}$), entonces${\displaystyle p}$puede deformarse continuamente en${\displaystyle q}$mientras se mantienen fijos ambos extremos. Explícitamente, existe una homotopía.${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$de tal manera que${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$y${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

Un espacio topológico${\displaystyle X}$está simplemente conectado si y solo si${\displaystyle X}$está conectado por caminos y el grupo fundamental de${\displaystyle X}$en cada punto es trivial, es decir, consiste únicamente en el elemento identidad . De manera similar,${\displaystyle X}$está simplemente conectado si y solo si para todos los puntos${\displaystyle x,y\in X,}$el conjunto de morfismos${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$en el grupoide fundamental de${\displaystyle X}$tiene un solo elemento. ^{[ 2 ]}

En análisis complejo : un subconjunto abierto${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$está simplemente conectado si y solo si ambos${\displaystyle X}$y su complemento en la esfera de Riemann están conectados. El conjunto de números complejos con parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menor que uno proporciona un ejemplo de un subconjunto abierto, conexo e ilimitado del plano cuyo complemento no está conectado. Sin embargo, es simplemente conexo. Una relajación del requisito de que${\displaystyle X}$La naturaleza conexa permite explorar subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conexo. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conexo) tiene un complemento extendido conexo si y solo si cada uno de sus componentes conexos es simplemente conexo.

De manera informal, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene agujeros que lo atraviesen por completo. Por ejemplo, ni una rosquilla ni una taza de café (con asa) están simplemente conectadas, pero una pelota de goma hueca sí lo está. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, pero un disco y una línea sí. Los espacios que están conectados pero no simplemente conectados se denominan no simplemente conectados o múltiples conectados .

La definición excluye únicamente los agujeros con forma de asa . Una esfera (o, equivalentemente, una pelota de goma con el centro hueco) es simplemente conexa, ya que cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta un punto aunque tenga un "agujero" en el centro hueco. La condición más estricta, que el objeto no tenga agujeros de ninguna dimensión, se denomina contractibilidad .

• El plano euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$simplemente está conectado, pero${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$menos el origen${\displaystyle (0,0)}$no lo es. Si${\displaystyle n>2,}$entonces ambos${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Sin el origen, simplemente están conectados.
• Análogamente: la esfera n -dimensional${\displaystyle S^{n}}$está simplemente conectado si y solo si${\displaystyle n\geq 2.}$
• Cada subconjunto convexo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$simplemente está conectado.
• Un toroide , el cilindro (elíptico) , la cinta de Möbius , el plano proyectivo y la botella de Klein no están simplemente conectados.
• Todo espacio vectorial topológico es simplemente conexo; esto incluye los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .
• Para${\displaystyle n\geq 2,}$el grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$no está simplemente conectado y el grupo unitario especial${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$simplemente está conectado.
• La compactificación de un punto de${\displaystyle \mathbb {R} }$no está simplemente conectado (aunque${\displaystyle \mathbb {R} }$simplemente está conectado).
• La larga fila${\displaystyle L}$simplemente está conectado, pero su compactación, la línea larga extendida${\displaystyle L^{*}}$No lo es (ya que ni siquiera está conectado por un camino).

Una superficie ( variedad topológica bidimensional ) es simplemente conexa si y solo si es conexa y su género (el número de asas de la superficie) es 0.

Una cubierta universal para cualquier espacio (apropiado)${\displaystyle X}$es un espacio simplemente conectado que se corresponde con${\displaystyle X}$a través de un mapa de cobertura .

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son homotópicamente equivalentes y${\displaystyle X}$Si simplemente está conectado, entonces también lo está.${\displaystyle Y.}$

La imagen de un conjunto simplemente conexo bajo una función continua no tiene por qué ser simplemente conexo. Tomemos como ejemplo el plano complejo bajo la aplicación exponencial: la imagen es${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$que no está simplemente conectado.

La noción de conexión simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:

• El teorema integral de Cauchy establece que si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo.${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$es una función holomorfa , entonces${\displaystyle f}$tiene un antiderivado${\displaystyle F}$en${\displaystyle U,}$y el valor de cada integral de línea en${\displaystyle U}$con integrando${\displaystyle f}$depende únicamente de los puntos finales${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$del camino, y se puede calcular como${\displaystyle F(v)-F(u).}$La integral, por lo tanto, no depende del camino particular que conecta${\displaystyle u}$y${\displaystyle v,}$
• El teorema de mapeo de Riemann establece que cualquier subconjunto abierto no vacío simplemente conexo de${\displaystyle \mathbb {C} }$(excepto${\displaystyle \mathbb {C} }$en sí mismo) es conformemente equivalente al disco unitario .

La noción de conectividad simple es también una condición crucial en la conjetura de Poincaré .

• Retracción por deformación : mapeo continuo que conserva la posición desde un espacio topológico a un subespacio. Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redirección. 
• Espacio conectado de forma sencilla a nivel local
• espacio n-conectado
• Espacio unicoherente – Tipo de espacio topológico 

• Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Funciones de una variable compleja I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolás (2005). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (enero de 2001). Análisis complejo . Saltador. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introducción a la topología general . New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.