Homeotopía

En topología algebraica , un área de las matemáticas , un grupo de homeotopía de un espacio topológico es un grupo de homotopía del grupo de autohomeomorfismos de ese espacio.

Los funtores del grupo de homotopía asignan a cada espacio topológico conexo por caminos el grupo de clases de homotopía de mapas continuos $estilo de visualización {\pi _{k}}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización: pi_k(X)$${\displaystyle S^{k}\to X.}$

Otra construcción sobre un espacio es el grupo de todos los autohomeomorfismos , denotado Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto , localmente conexo , entonces un resultado fundamental de R. Arens dice que será de hecho un grupo topológico bajo la topología compacta-abierta . ${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle X\a X}$${\displaystyle {\rm {Homeo}}(X).}$ ${\displaystyle {\rm {Homeo}}(X)}$

Bajo los supuestos anteriores, los grupos de homeotopía se definen como: ${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle HME_{k}(X)=\pi _{k}({\rm {Homeo}}(X)).}$

Por lo tanto, el grupo de clases de mapeo es para En otras palabras, el grupo de clases de mapeo es el conjunto de componentes conectados de como lo especifica el functor${\displaystyle HME_{0}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))=MCG^{*}(X)}$${\estilo de visualización X.}$${\displaystyle {\rm {Homeo}}(X)}$${\displaystyle \pi _{0}.}$

Según el teorema de Dehn-Nielsen , si es una superficie cerrada entonces , es decir, el grupo de homotopía cero de los automorfismos de un espacio es el mismo que el grupo de automorfismos externos de su grupo fundamental . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle HME_{0}(X)={\rm {Fuera}}(\pi _{1}(X)),}$