Cono de mapeo (topología)

En matemáticas , especialmente en teoría de homotopía , el cono de mapeo es una construcción en topología análoga a un espacio cociente y se denota${\displaystyle C_{f}}$Alternativamente, también se le llama cofibra homotópica y también se denota${\displaystyle Cf}$Su dual, una fibración , se denomina fibra de mapeo . El cono de mapeo puede entenderse como un cilindro de mapeo.${\displaystyle Mf}$con el extremo inicial del cilindro colapsado en un punto. Los conos de mapeo se aplican frecuentemente en la teoría de homotopía de espacios con puntos .

Dado un mapa${\displaystyle f\colon X\to Y}$, el cono de mapeo${\displaystyle C_{f}}$se define como el espacio cociente del cilindro de mapeo${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$con respecto a la relación de equivalencia${\displaystyle \forall x,x'\in X,(x,0)\sim \left(x',0\right)\,}$,${\displaystyle (x,1)\sim f(x)}$. Aquí${\displaystyle I}$denota el intervalo unitario [0, 1] con su topología estándar . Nótese que algunos autores (como J. Peter May ) utilizan la convención opuesta, intercambiando 0 y 1.

Visualmente, se toma el cono en X (el cilindro).${\displaystyle X\times I}$con un extremo (el extremo 0) colapsado en un punto), y pega el otro extremo a Y a través del mapa f (el extremo 1).

La anterior es la definición para un mapa de espacios no puntuados; para un mapa de espacios puntuados${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$(entonces${\displaystyle f\colon x_{0}\mapsto y_{0}}$), también se identifican todos los${\displaystyle x_{0}\times I}$Formalmente,${\displaystyle (x_{0},t)\sim \left(x_{0},t'\right)}$. Por lo tanto, un extremo y la "costura" se identifican con${\displaystyle y_{0}.}$

La fibra de mapeo es el complemento del cono de mapeo.${\displaystyle F_{f}}$Dado el mapa señalado${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$uno define la fibra de mapeo como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{f}=\left\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ y }}\omega (1)=f(x)\right\}}$.

Aquí, I es el intervalo unitario y${\displaystyle \omega }$es una trayectoria continua en el espacio (el objeto exponencial )${\displaystyle Y^{I}}$. La fibra de mapeo a veces se denomina como${\displaystyle Mf}$; sin embargo, esto entra en conflicto con la misma notación para el cilindro de mapeo.

Es dual al cono de mapeo en el sentido de que el producto anterior es esencialmente el producto fibrado o retroceso.${\displaystyle X\times _{f}Y}$que es dual al empuje${\displaystyle X\sqcup _{f}Y}$utilizado para construir el cono de mapeo. ^{[ 2 ]} En este caso particular, la dualidad es esencialmente la de currificar , en el sentido de que el cono de mapeo${\displaystyle (X\times I)\sqcup _{f}Y}$tiene la forma curry${\displaystyle X\times _{f}(I\to Y)}$dónde${\displaystyle I\to Y}$es simplemente una notación alternativa para el espacio${\displaystyle Y^{I}}$de todos los mapas continuos desde el intervalo unitario hasta${\displaystyle Y}$Las dos variantes están relacionadas por un functor adjunto . Obsérvese que la currificación conserva la naturaleza reducida de las aplicaciones: en un caso, hacia la punta del cono, y en el otro, hacia el punto base.

Un mapa${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$La relación entre complejos CW simplemente conexos es una equivalencia homotópica si y solo si su cono de mapeo es contraíble.

En términos más generales, un mapa se denomina n- conexo (como mapa) si su cono de mapeo es n- conexo (como espacio), más un poco más. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle \mathbb {} H_{*}}$ser una teoría de homología fija . El mapa${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$induce isomorfismos en${\displaystyle H_{*}}$, si y solo si el mapa${\displaystyle \{pt\}\hookrightarrow C_{f}}$induce un isomorfismo en${\displaystyle H_{*}}$, es decir,${\displaystyle H_{*}(C_{f},pt)=0}$.

Los conos de mapeo se utilizan comúnmente para construir secuencias de Puppe coexactas largas , a partir de las cuales se pueden obtener secuencias exactas largas de grupos de homotopía y homotopía relativa. ^{[ 1 ]}

• Cofibración
• Cono de mapeo (álgebra homológica)