Semicampo

En matemáticas , un semicuerpo es una estructura algebraica con dos operaciones binarias , suma y multiplicación, similar a un cuerpo , pero con algunos axiomas relajados.

El término semicampo tiene dos significados contradictorios, ambos incluyendo los campos como un caso especial.

• En geometría proyectiva y geometría finita ( MSC 51A, 51E, 12K10), un semicuerpo es un anillo de división no asociativo con elemento identidad multiplicativo. ^{[ 1 ]} Más precisamente, es un anillo no asociativo cuyos elementos no nulos forman un bucle bajo la multiplicación. En otras palabras, un semicuerpo es un conjunto S con dos operaciones + (suma) y · (multiplicación), tales que
  • ( S ,+) es un grupo abeliano ,
  • La multiplicación es distributiva tanto por la izquierda como por la derecha.
  • existe un elemento identidad multiplicativo y
  • La división siempre es posible: para cada a y cada b distinto de cero en S , existen x e y únicos en S para los cuales b · x = a e y · b = a .

Nótese en particular que no se asume que la multiplicación sea conmutativa o asociativa . Un semicuerpo asociativo es un anillo de división , y uno que es asociativo y conmutativo es un cuerpo . Un semicuerpo por esta definición es un caso especial de un cuasicuerpo . Si S es finito, el último axioma de la definición anterior puede reemplazarse con la suposición de que no hay divisores de cero , de modo que a ⋅ b = 0 implica que a = 0 o b = 0. ^{[ 2 ]} Nótese que, debido a la falta de asociatividad, el último axioma no es equivalente a la suposición de que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo, como suele encontrarse en las definiciones de cuerpos y anillos de división.

• In ring theory, combinatorics, functional analysis, and theoretical computer science (MSC 16Y60), a semifield is a semiring (S,+,·) in which all nonzero elements have a multiplicative inverse.^[3][4] These objects are also called proper semifields. A variation of this definition arises if S contains an absorbing zero that is different from the multiplicative unit e, it is required that the non-zero elements be invertible, and a·0 = 0·a = 0. Since multiplication is associative, the (non-zero) elements of a semifield form a group. However, the pair (S,+) is only a semigroup, i.e. additive inverse need not exist, or, colloquially, 'there is no subtraction'. Sometimes, it is not assumed that the multiplication is associative.

A semifield D is called right (resp. left) primitive if it has an element w such that the set of nonzero elements of D* is equal to the set of all right (resp. left) principal powers of w.

We only give examples of semifields in the second sense, i.e. additive semigroups with distributive multiplication. Moreover, addition is commutative and multiplication is associative in our examples.

• Positiverational numbers with the usual addition and multiplication form a commutative semifield.

  This can be extended by an absorbing 0.

• Positive real numbers with the usual addition and multiplication form a commutative semifield.

  This can be extended by an absorbing 0, forming the probability semiring, which is isomorphic to the log semiring.

• Rational functions of the form f /g, where f and g are polynomials over a subfield of real numbers in one variable with positive coefficients, form a commutative semifield.

  This can be extended to include 0.

• The real numbersR can be viewed a semifield where the sum of two elements is defined to be their maximum and the product to be their ordinary sum; this semifield is more compactly denoted (R, max, +). Similarly (R, min, +) is a semifield. These are called the tropical semiring.

  Esto se puede extender por −∞ (un 0 absorbente); este es el límite ( tropicalización ) del semianillo logarítmico cuando la base tiende al infinito.

• Generalizando el ejemplo anterior, si ( A ,·,≤) es un grupo reticulado ordenado , entonces ( A ,+,·) es un semicampo aditivamente idempotente con la suma del semicampo definida como el supremo de dos elementos. Recíprocamente, cualquier semicampo aditivamente idempotente ( A ,+,·) define un grupo reticulado ordenado ( A ,·,≤), donde a ≤ b si y solo si a + b = b .
• El semicampo booleano B = {0, 1} con la suma definida por el operador lógico OR y la multiplicación definida por el operador lógico AND .

• Anillo ternario planar (primer sentido)