Cuasicampo

En matemáticas , un cuasicampo es una estructura algebraica.${\displaystyle (Q,+,\cdot )}$dónde${\displaystyle +}$y${\displaystyle \cdot }$son operaciones binarias en${\displaystyle Q,}$muy parecido a un anillo de división , pero con algunas condiciones más débiles. Todos los anillos de división, y por lo tanto todos los cuerpos , son cuasicuerpos.

Un cuasicampo${\displaystyle (Q,+,\cdot )}$es una estructura, donde${\displaystyle +}$y${\displaystyle \cdot }$son operaciones binarias en${\displaystyle Q}$, satisfaciendo estos axiomas:

• ${\displaystyle (Q,+)}$es un grupo
• ${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$es un bucle , donde${\displaystyle Q_{0}=Q\setminus \{0\}\,}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c\in Q}$( distributividad izquierda )
• ${\displaystyle a\cdot x=b\cdot x+c}$tiene exactamente una solución para${\displaystyle x}$,${\displaystyle \forall a,b,c\in Q,a\neq b}$

En rigor, esta es la definición de un cuasicampo izquierdo . Un cuasicampo derecho se define de forma similar, pero satisface la distributividad derecha. Un cuasicampo que satisface ambas leyes distributivas se denomina semicampo , en el sentido en que se utiliza el término en geometría proyectiva .

Aunque no se asume, se puede demostrar que los axiomas implican que el grupo aditivo${\displaystyle (Q,+)}$es abeliano . Por lo tanto, cuando nos referimos a un cuasicampo abeliano , queremos decir que${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$es abeliano.

El núcleo${\displaystyle K}$de un cuasicampo${\displaystyle Q}$es el conjunto de todos los elementos${\displaystyle c}$de tal manera que:

• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \forall a,b\in Q}$
• ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q}$

Restringir las operaciones binarias${\displaystyle +}$y${\displaystyle \cdot }$a${\displaystyle K}$, se puede demostrar que${\displaystyle (K,+,\cdot )}$es un anillo divisor .

Ahora se puede crear un espacio vectorial de${\displaystyle Q}$encima${\displaystyle K}$, con la siguiente multiplicación escalar  : ${\displaystyle v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}$

Como un anillo de división finito es un cuerpo finito según el teorema de Wedderburn , el orden del núcleo de un cuasicuerpo finito es una potencia prima . La construcción del espacio vectorial implica que el orden de cualquier cuasicuerpo finito también debe ser una potencia prima.

Todos los anillos de división, y por lo tanto todos los campos, son cuasicampos.

Un campo cercano (derecho) que es un cuasicampo (derecho) se llama "campo cercano planar".

Los cuasicuerpos más pequeños son abelianos y únicos. Son los cuerpos finitos de órdenes hasta ocho inclusive. Los cuasicuerpos más pequeños que no son anillos de división son los cuatro cuasicuerpos no abelianos de orden nueve; se presentan en Hall (1959) y Weibel (2007) .

Dado un cuasicampo${\displaystyle Q}$, definimos un mapa ternario${\displaystyle T\colon Q\times Q\times Q\to Q}$por

${\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q}$

Entonces se puede verificar que${\displaystyle (Q,T)}$satisface los axiomas de un anillo ternario planar . Asociado a${\displaystyle (Q,T)}$es su plano proyectivo correspondiente . Los planos proyectivos construidos de esta manera se caracterizan como sigue; los detalles de esta relación se dan en Hall (1959) . Un plano proyectivo es un plano de traslación con respecto a la línea en el infinito si y solo si alguno (o todos) de sus anillos ternarios planares asociados son cuasi-campos derechos. Se llama plano de cizallamiento si alguno (o todos) de sus anillos ternarios son cuasi-campos izquierdos.

El plano no determina de forma única el anillo; los cuatro cuasi-campos no abelianos de orden 9 son anillos ternarios para el único plano de traslación no desarguesiano de orden 9. Estos difieren en el cuadrilátero fundamental utilizado para construir el plano (véase Weibel 2007).

En la literatura anterior a 1975, los cuasicampos se denominaban "sistemas de Veblen-Wedderburn", ya que fueron estudiados por primera vez en el artículo de 1907 (Veblen-Wedderburn 1907) de Oswald Veblen y Joseph Wedderburn . Se pueden encontrar estudios sobre cuasicampos y sus aplicaciones a planos proyectivos en Hall (1959) y Weibel (2007) .

• Campo cercano
• Semicampo
• Anillo de división alternativo
• Sistemas de Hall (planos de Hall)
• Avión de Moufang

• Hall, Marshall Jr. (1959), Teoría de los grupos , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215  .
• Veblen, O.; Wedderburn, JHM (1907), "Geometrías no desarguesianas y no pascalianas" , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3): 379–388 , doi : 10.2307/1988781 , JSTOR 1988781 
• Weibel, Charles (2007), "Estudio de planos no desarguesianos" , Notices of the AMS , 54 ( 10): 1294–1303

• Campos cuasiestacionarios de Hauke ​​Klein