Semianillo tropical

En el análisis idempotente , el semianillo tropical es un semianillo de números reales extendidos con las operaciones de mínimo (o máximo ) y adición reemplazando las operaciones usuales ("clásicas") de adición y multiplicación, respectivamente.

El semianillo tropical tiene diversas aplicaciones (véase análisis tropical ) y constituye la base de la geometría tropical . El nombre tropical es una referencia al informático nacido en Hungría, Imre Simon , llamado así porque vivió y trabajó en Brasil. ^[1]

Elmin semiring tropical (omin-plus semiring oálgebra min-plus ) es elsemianillo(,,), con las operaciones: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \otimes}$

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Las operaciones y se denominan suma tropical y multiplicación tropical respectivamente. El elemento identidad de es , y el elemento identidad de es 0. ${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle \oplus}$${\estilo de visualización +\infty}$${\displaystyle \otimes}$

De manera similar, laSemiring tropical máximo (osemiring max-plus oálgebra máxima-plus oEl semianillo ártico ) es el semianillo (,,), con operaciones: ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle \otimes}$

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

La unidad del elemento identidad para es , y la unidad del elemento identidad para es 0. ${\displaystyle \oplus}$${\estilo de visualización -\infty}$${\displaystyle \otimes}$

Los dos semianillos son isomorfos bajo negación y, generalmente, se elige uno de ellos y se lo denomina simplemente semianillo tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos usan la convención min , otros usan la convención max . ${\displaystyle x\mapsto -x}$

Los dos semianillos tropicales son el límite (" tropicalización ", "descuantificación") del semianillo logarítmico cuando la base tiende a infinito ( semianillo${\displaystyle b\to \infty}$ máximo-más) o a cero ( semianillo${\displaystyle b\to 0}$ mínimo-más).

La adición tropical es idempotente , por lo tanto, un semianillo tropical es un ejemplo de un semianillo idempotente .

Un semianillo tropical también se conoce comoálgebra tropical ,^[2]aunque esto no debe confundirse con unálgebra asociativasobre un semianillo tropical.

La exponenciación tropical se define de la forma habitual como productos tropicales iterados.

Las operaciones de semiring tropical modelan cómo se comportan las valoraciones bajo la adición y la multiplicación en un campo valorado . Un campo valorado en términos reales es un campo equipado con una función ${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

que satisface las siguientes propiedades para todos , en : ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle v(a)=\infty}$Si y sólo si${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$con igualdad si${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

Por lo tanto, la valoración v es casi un homomorfismo de semianillo desde K hasta el semianillo tropical, excepto que la propiedad del homomorfismo puede fallar cuando se suman dos elementos con la misma valoración.

Algunos campos con valores comunes:

• ${\displaystyle \mathbb {Q}}$o con la valoración trivial, para todos ,${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle v(a)=0}$${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q}}$o sus extensiones con la valoración p-ádica , para y coprimo a ,${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización p}$
• el campo de series formales de Laurent (potencias enteras), o el campo de series de Puiseux , o el campo de series de Hahn , con valoración que devuelve el exponente más pequeño de que aparece en la serie.${\displaystyle K((t))}$ ${\displaystyle K\{\{t\}\}}$${\estilo de visualización t}$