Volumen

La precisión de las mediciones de volumen en el período antiguo suele oscilar entre 10 y 50 mL (0,3–2 onzas líquidas estadounidenses ; 0,4–2 onzas líquidas imperiales ) . ^{[ 4 ] : 8} La evidencia más antigua del cálculo de volumen proviene del antiguo Egipto y Mesopotamia como problemas matemáticos, que aproximaban el volumen de formas simples como cuboides , cilindros , troncos de cono y conos . Estos problemas matemáticos han sido escritos en el Papiro Matemático de Moscú (c. 1820 a. C.). En el Papiro Reisner , los antiguos egipcios han escrito unidades concretas de volumen para granos y líquidos, así como una tabla de longitud, anchura, profundidad y volumen para bloques de material. ^{[ 4 ] : 116} Los egipcios utilizan sus unidades de longitud (el codo , la palma , el dedo ) para diseñar sus unidades de volumen, como el volumen codo ^{[ 4 ] : 117} o deny (1 codo × 1 codo × 1 codo), el volumen palma (1 codo × 1 codo × 1 palma) y el volumen dedo (1 codo × 1 codo × 1 dedo). ^{[ 4 ] : 117}       

Los últimos tres libros de los Elementos de Euclides , escritos alrededor del año 300 a. C., detallaban las fórmulas exactas para calcular el volumen de paralelepípedos , conos, pirámides , cilindros y esferas . Estas fórmulas fueron determinadas por matemáticos anteriores mediante una forma primitiva de integración , dividiendo las figuras en piezas más pequeñas y simples. Un siglo después, Arquímedes ( c. 287-212 a. C. ) ideó una fórmula aproximada para el volumen de varias figuras utilizando el método de agotamiento , es decir, derivando soluciones a partir de fórmulas previamente conocidas para figuras similares. La integración primitiva de figuras también fue descubierta independientemente por Liu Hui en el siglo III d. C., Zu Chongzhi en el siglo V d. C., y en Oriente Medio e India .

Arquímedes también ideó un método para calcular el volumen de un objeto irregular, sumergiéndolo en agua y midiendo la diferencia entre el volumen inicial y final del agua. La diferencia de volumen del agua es el volumen del objeto. Aunque muy popularizado, es probable que Arquímedes no sumergiera la corona de oro para determinar su volumen, y por lo tanto su densidad y pureza, debido a la extrema precisión que esto implicaba. ^{[ 5 ]} En cambio, probablemente ideó una forma primitiva de balanza hidrostática . En este caso, la corona y un trozo de oro puro de peso similar se colocan en ambos extremos de una balanza sumergida en agua, la cual se inclinará en consecuencia debido al principio de Arquímedes . ^{[ 6 ]}

En la Edad Media , se crearon muchas unidades para medir el volumen, como el sester , el ámbar , el coomb y el seam . La gran cantidad de estas unidades motivó a los reyes británicos a estandarizarlas, culminando en el estatuto Assize of Bread and Ale de 1258 por Enrique III de Inglaterra . El estatuto estandarizó el peso, la longitud y el volumen, además de introducir el penique, la onza, la libra, el galón y el bushel. ^{[ 4 ] : 73–74} En 1618, la Farmacopea de Londres (catálogo de compuestos medicinales) adoptó el galón romano ^{[ 7 ]} o congius ^{[ 8 ]} como unidad básica de volumen y proporcionó una tabla de conversión a las unidades de peso de los boticarios. ^{[ 7 ]} Alrededor de esta época, las mediciones de volumen se están volviendo más precisas y la incertidumbre se reduce a entre 1–5 mL (0,03–0,2 onzas líquidas estadounidenses ; 0,04–0,2 onzas líquidas imperiales ) . ^{[ 4 ] : 8}       

A principios del siglo XVII, Bonaventura Cavalieri aplicó la filosofía del cálculo integral moderno para calcular el volumen de cualquier objeto. Desarrolló el principio de Cavalieri , que establecía que al utilizar secciones cada vez más delgadas de la figura, el volumen resultante sería cada vez más preciso. Esta idea fue posteriormente desarrollada por Pierre de Fermat , John Wallis , Isaac Barrow , James Gregory , Isaac Newton , Gottfried Wilhelm Leibniz y Maria Gaetana Agnesi durante los siglos XVII y XVIII, dando lugar al cálculo integral moderno, que sigue vigente en el siglo XXI.

El 7 de abril de 1795, el sistema métrico se definió formalmente en la legislación francesa utilizando seis unidades. Tres de ellas están relacionadas con el volumen: la ^stère (  1  m³ ) para el volumen de leña; el litro (1 dm³ ⁾ para los volúmenes de líquido; y el gramo , para la masa, definida como la masa de un centímetro cúbico de agua a la temperatura de fusión del hielo. ^{[ 9 ]} Treinta años después, en 1824, el galón imperial se definió como el volumen ocupado por diez libras de agua a 17 °C (62 °F) . Esta definición se perfeccionó aún más hasta la Ley de Pesos y Medidas del Reino Unido de 1985 , que establece que 1 galón imperial es exactamente igual a 4,54609 litros sin utilizar agua. ^{[ 10 ]}     

La redefinición del metro en 1960, desde el Metro Prototipo Internacional hasta la línea de emisión naranja-roja de los átomos de kriptón-86, liberó al metro, al metro cúbico y al litro de los objetos físicos. Esto también hizo que el metro y las unidades de volumen derivadas del metro fueran resistentes a los cambios en el Metro Prototipo Internacional. ^{[ 11 ]} La definición del metro se redefinió nuevamente en 1983 para usar la velocidad de la luz y el segundo (que se deriva del estándar de cesio ) y se reformuló para mayor claridad en 2019. ^{[ 12 ]}

Para facilitar los cálculos, una unidad de volumen es igual al volumen ocupado por un cubo unitario (con un lado de longitud uno). Dado que el volumen ocupa tres dimensiones, si se elige el metro (m) como unidad de longitud, la unidad de volumen correspondiente es el metro cúbico (m³ ⁾ . El metro cúbico es también una unidad derivada del SI . ^{[ 15 ]} Por lo tanto, el volumen tiene una dimensión unitaria de ^L³ . ^{[ 16 ]}

Las unidades métricas de volumen utilizan prefijos métricos , estrictamente en potencias de diez . Al aplicar prefijos a unidades de volumen, que se expresan en unidades de longitud al cubo, los operadores cúbicos se aplican a la unidad de longitud que incluye el prefijo. Un ejemplo de conversión de centímetro cúbico a metro cúbico es: 2,3 ^cm³  = 2,3 (cm) ^³ = 2,3 (0,01 m) ^³ = 0,0000023 m³ ⁽ cinco ceros). ^{[ 17 ] : 143}

Los prefijos comúnmente utilizados para las unidades de longitud cúbica son el milímetro cúbico (mm³ ⁾ , el centímetro cúbico (cm³ ⁾ , el decímetro cúbico (dm³ ⁾ , el metro cúbico (m³ ) ^{y el} kilómetro cúbico (km³ ^{) . La conversión entre las unidades de} prefijo es la siguiente: 1000 ^mm³  = 1 cm³ , 1000 cm³ = 1 dm³ y 1000 ^dm³ = 1 ^m³ . ^{[ 1 ] El} sistema métrico también incluye el litro ( ^L ) como unidad de volumen, donde 1 L = 1 dm³ = 1000 ^cm³ = 0,001 ^m³ . ^{[ 17 ] : 145} Para la unidad de litro, los prefijos comúnmente utilizados son el mililitro (mL), el centilitro (cL) y el litro (L), con 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL y 10 dL = 1 L. ^{[ 1 ]}                

También se utilizan otras unidades de volumen imperiales o del sistema consuetudinario estadounidense , entre las que se incluyen:

• pulgada cúbica , pie cúbico , yarda cúbica , acre-pie , milla cúbica ;
• minim , dracma , onza líquida , pinta ;
• cucharadita , cucharada ;
• gill , cuarto , galón , barril ;
• cuerda , peck , bushel , hogshead .

La capacidad es la cantidad máxima de material que un contenedor puede contener, medida en volumen o peso . Sin embargo, el volumen contenido no tiene por qué llenarse hasta la capacidad del contenedor, ni viceversa. Los contenedores solo pueden contener una cantidad específica de volumen físico, no de peso (excluyendo consideraciones prácticas). Por ejemplo, un tanque de 50 000 barriles (7 900 000 litros) que puede contener 7200 toneladas (15 900 000 libras) de fueloil no podrá contener las mismas 7200 toneladas (15 900 000 libras) de nafta , debido a la menor densidad de la nafta y, por lo tanto, a su mayor volumen. ^{[ 18 ] : 390–391}      

Para muchas figuras geométricas, como el cubo , el paralelepípedo y el cilindro , la fórmula de cálculo del volumen es esencialmente la misma que para el prisma : la base de la figura multiplicada por su altura .

El cálculo de volumen es una parte fundamental del cálculo integral . Un ejemplo de ello es el cálculo del volumen de sólidos de revolución , mediante la rotación de una curva plana alrededor de una línea en el mismo plano. El método de integración por arandela o disco se utiliza al integrar por un eje paralelo al eje de rotación. La ecuación general se puede escribir como:$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx}$$dónde${\textstyle f(x)}$y${\textstyle g(x)}$son los límites de la curva plana. ^{[ 19 ] : 1, 3} El método de integración de la capa se utiliza al integrar por un eje perpendicular al eje de rotación. La ecuación se puede escribir como: ^{[ 19 ] : 6}$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx}$$El volumen de una región D en el espacio tridimensional viene dado por la integral triple o integral de volumen de la función constante.${\displaystyle f(x,y,z)=1}$sobre la región. Generalmente se escribe como: ^{[ 20 ] : Sección 14.4}$${\displaystyle \iiint _ {D}1\,dx\,dy\,dz.}$$

En coordenadas cilíndricas , la integral de volumen es $${\displaystyle \iiint _ {D}r\,dr\,d\theta \,dz,}$$

En coordenadas esféricas (usando la convención para ángulos con${\displaystyle \theta }$como el acimut y${\displaystyle \varphi }$medida desde el eje polar; ver más sobre convenciones ), la integral de volumen es $${\displaystyle \iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$$

Una malla poligonal es una representación de la superficie del objeto, utilizando polígonos . La malla volumétrica define explícitamente sus propiedades de volumen y superficie.