espacio tridimensional

En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en el espacio tridimensional mediante tres coordenadas. Se dan tres ejes de coordenadas , cada uno perpendicular a los otros dos en el origen , el punto donde se cruzan. Generalmente se denominan x , y y z . Con respecto a estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional viene dada por una terna ordenada de números reales , donde cada número indica la distancia de ese punto al origen medida a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese punto al plano determinado por los otros dos ejes. ^{[ 21 ]}

Otros métodos populares para describir la ubicación de un punto en el espacio tridimensional incluyen coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas , aunque existe un número infinito de métodos posibles. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Para más información, consulte el espacio euclidiano .

A continuación se muestran imágenes de los sistemas mencionados anteriormente.

• 
  sistema de coordenadas cartesianas
• 
  Sistema de coordenadas cilíndricas
• 
  Sistema de coordenadas esféricas

Dos puntos distintos siempre determinan una línea (recta) . Tres puntos distintos son colineales o determinan un plano único . Por otro lado, cuatro puntos distintos pueden ser colineales, coplanares o determinar todo el espacio. ^{[ 24 ]}

Dos líneas distintas pueden intersecarse, ser paralelas o ser oblicuas . Dos líneas paralelas, o dos líneas que se intersecan , se encuentran en un plano único; por lo tanto, las líneas oblicuas son aquellas que no se cruzan y no se encuentran en un plano común. ^{[ 25 ]}

Dos planos distintos pueden encontrarse en una línea común o ser paralelos (es decir, no encontrarse). ^{[ 25 ]} Tres planos distintos, ninguno de los cuales es paralelo, pueden encontrarse en una línea común, encontrarse en un único punto común o no tener ningún punto en común. En este último caso, las tres líneas de intersección de cada par de planos son paralelas entre sí. ^{[ 26 ]}

Una línea puede estar en un plano dado, intersecar ese plano en un único punto o ser paralela al plano. ^{[ 25 ]} En este último caso, se pueden formar líneas en el plano que sean paralelas a la línea dada.

Un hiperplano es un subespacio de una dimensión menor que la dimensión del espacio completo. Los hiperplanos de un espacio tridimensional son los subespacios bidimensionales, es decir, los planos. En términos de coordenadas cartesianas, los puntos de un hiperplano satisfacen una única ecuación lineal , por lo que los planos en este espacio tridimensional se describen mediante ecuaciones lineales. Una línea se puede describir mediante un par de ecuaciones lineales independientes, cada una de las cuales representa un plano que tiene a dicha línea como punto de intersección común. ^{[ 27 ]}

El teorema de Varignon establece que los puntos medios de cualquier cuadrilátero en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$forman un paralelogramo y, por lo tanto, son coplanares. ^{[ 28 ]}

Una esfera en el espacio tridimensional (también llamada 2-esfera porque, como todas las superficies , es intrínsecamente bidimensional) consiste en el conjunto de todos los puntos en el espacio tridimensional que se encuentran a una distancia fija r de un punto central P. El sólido encerrado por la esfera se llama bola (o 3-bola ). ^{[ 29 ]}

El volumen de la bola viene dado por ^{[ 30 ]}$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ y el área de la superficie de la esfera es ^{[ 30 ]}$${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

Otro tipo de esfera surge de una 4-bola, cuya superficie tridimensional es la 3-esfera : puntos equidistantes al origen del espacio euclidiano R ⁴ . Si un punto tiene coordenadas P ( x , y , z , w ) , entonces x ² + y ² + z ² + w ² = 1 caracteriza aquellos puntos en la 3-esfera unitaria centrada en el origen. ^{[ 31 ]}

Esta 3-esfera es un ejemplo de una 3-variedad : un espacio que "se ve localmente" como un espacio 3-D. ^{[ 32 ]} En términos topológicos precisos, cada punto de la 3-esfera tiene un entorno que es homeomorfo a un subconjunto abierto del espacio 3-D.

En tres dimensiones, hay nueve politopos regulares : los cinco sólidos platónicos convexos y los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot no convexos . ^{[ 33 ]}

Una superficie generada al girar una curva plana alrededor de una línea fija en su plano como eje se denomina superficie de revolución. La curva plana se llama generatriz de la superficie. Una sección de la superficie, formada al intersecarla con un plano perpendicular (ortogonal) al eje, es un círculo. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Ejemplos sencillos se dan cuando la generatriz es una línea. Si la línea generatriz interseca el eje, la superficie de revolución es un cono circular recto con vértice (ápice) en el punto de intersección. Sin embargo, si la generatriz y el eje son paralelos, la superficie de revolución es un cilindro circular . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

En analogía con las secciones cónicas , el conjunto de puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación general de segundo grado, a saber, $${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$ donde A , B , C , F , G , H , J , K , L y M son números reales y no todos A , B , C , F , G y H son cero, se denomina superficie cuádrica . ^{[ 36 ]}

Hay seis tipos de superficies cuádricas no degeneradas : ^{[ 36 ]}

1. elipsoide
2. Hiperboloide de una hoja
3. Hiperboloide de dos hojas
4. Cono elíptico
5. Paraboloide elíptico
6. paraboloide hiperbólico

Las superficies cuádricas degeneradas son el conjunto vacío, un punto único, una línea única, un plano único, un par de planos o un cilindro cuadrático (una superficie que consiste en una sección cónica no degenerada en un plano π y todas las líneas de R³ que ^pasan por esa cónica y son normales a π ). ^{[ 36 ]} Los conos elípticos también se consideran a veces superficies cuádricas degeneradas.

Tanto el hiperboloide de una hoja como el paraboloide hiperbólico son superficies regladas , lo que significa que pueden estar formadas por una familia de líneas rectas. De hecho, cada una tiene dos familias de líneas generatrices, los miembros de cada familia son disjuntos y cada miembro de una familia interseca, con una sola excepción, a cada miembro de la otra familia. ^{[ 36 ]} Cada familia se denomina régulo . ^{[ 37 ]}

Un vector puede representarse como una flecha. La magnitud del vector es su longitud y su dirección es la dirección hacia la que apunta la flecha. Un vector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$puede representarse mediante una terna ordenada de números reales. Estos números se denominan componentes del vector.

El producto escalar de dos vectores A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] y B = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ] se define como: ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

La magnitud de un vector A se denota por || A || . El producto escalar de un vector A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] consigo mismo es

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

lo que da ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

Sin referencia a las componentes de los vectores, el producto escalar de dos vectores euclidianos distintos de cero A y B viene dado por ^{[ 39 ].}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre A y B.

Como ejemplo físico, consideremos un bloque sobre un plano inclinado que es atraído hacia abajo por una fuerza gravitatoria . El producto escalar se puede utilizar para calcular el trabajo.${\displaystyle W}$realizado por el vector de fuerza constante${\displaystyle \mathbf {g} }$que se aplica en ángulo${\displaystyle \theta }$en la dirección de la pendiente descendente${\displaystyle \mathbf {d} }$. Es decir: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

El producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores en el espacio tridimensional y se denota con el símbolo ×. El producto vectorial A × B de los vectores A y B es un vector perpendicular a ambos y, por lo tanto, normal al plano que los contiene. Tiene numerosas aplicaciones en matemáticas, física e ingeniería . ^{[ 41 ]} Por ejemplo, se puede utilizar para calcular el par de torsión de un perno al ser accionado por una llave, o la fuerza de Lorentz sobre un electrón que se desplaza a través de un campo magnético . ^{[ 42 ]}

En el lenguaje de funciones, el producto vectorial es una función.${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} . ^{[ 43 ]}

Los componentes del producto cruzado son${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$y también se puede escribir en componentes, utilizando la convención de suma de Einstein como${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _ {ijk}A_ {j}B_ {k}}$dónde${\displaystyle \varepsilon _ {ijk}}$es el símbolo de Levi-Civita . ^{[ 44 ]} Tiene la propiedad de que${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$. ^{[ 41 ]}

Su magnitud está relacionada con el ángulo${\displaystyle \theta }$entre${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$por la identidad ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

El espacio y el producto forman un álgebra sobre un cuerpo , que no es conmutativa ni asociativa , sino un álgebra de Lie cuyo producto vectorial es el corchete de Lie. ^{[ 45 ]} Específicamente, el espacio junto con el producto,${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$es isomorfo al álgebra de Lie de rotaciones tridimensionales , denotada${\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}$. ^{[ 43 ]} Para satisfacer los axiomas de un álgebra de Lie, en lugar de la asociatividad, el producto vectorial satisface la identidad de Jacobi . Para cualesquiera tres vectores${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$y${\displaystyle \mathbf {C} }$^{[ 45 ]}

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

En n dimensiones, se puede tomar el producto de n − 1 vectores para producir un vector perpendicular a todos ellos. Pero si el producto se limita a productos binarios no triviales con resultados vectoriales, solo existe en tres y siete dimensiones . ^{[ 46 ]}

Puede resultar útil describir el espacio tridimensional como un espacio vectorial tridimensional.${\displaystyle V}$sobre los números reales. Esto difiere de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$de una manera sutil. Por definición, existe una base.${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$para${\displaystyle V}$Esto corresponde a un isomorfismo entre${\displaystyle V}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: ^{[ 38 ]} la construcción para el isomorfismo se encuentra aquí . Sin embargo, no hay una base 'preferida' o 'canónica' para${\displaystyle V}$.

Por otro lado, existe una base preferida para${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, lo cual se debe a su descripción como un producto cartesiano de copias de${\displaystyle \mathbb {R} }$, eso es,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, el espacio euclidiano tridimensional. ^{[ 47 ]} Esto permite la definición de proyecciones canónicas,${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$, dónde${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$. Por ejemplo,${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$Esto permite definir la base estándar .${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$definido por $${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$ dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es la delta de Kronecker . Escrita en su totalidad, la base estándar es ^{[ 48 ].}

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Por lo tanto${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$puede verse como el espacio vectorial abstracto, junto con la estructura adicional de una elección de base. Por el contrario,${\displaystyle V}$se puede obtener comenzando con${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y "olvidando" la estructura del producto cartesiano, o equivalentemente la elección estándar de la base.

A diferencia de un espacio vectorial general${\displaystyle V}$, el espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$A veces se le denomina espacio de coordenadas. ^{[ 49 ]}

Físicamente, es conceptualmente deseable utilizar el formalismo abstracto para asumir la menor estructura posible si no está dada por los parámetros de un problema particular. Por ejemplo, en un problema con simetría rotacional, trabajar con la descripción más concreta del espacio tridimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Se presupone la elección de una base, que corresponde a un conjunto de ejes. Sin embargo, en la simetría rotacional, no hay razón para preferir un conjunto de ejes a otro, por ejemplo, el mismo conjunto de ejes rotado arbitrariamente. Dicho de otro modo, una elección preferida de ejes rompe la simetría rotacional del espacio físico.

Desde el punto de vista computacional, es necesario trabajar con la descripción más concreta.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$para realizar cálculos concretos.

El gradiente indica la dirección de mayor incremento de una función y su magnitud. Un ejemplo es un flujo de partículas, donde el gradiente es la magnitud y la dirección del flujo en una ubicación. ^{[ 53 ]} En un sistema de coordenadas rectangulares, el gradiente de una función diferenciable${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$está dado por ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

donde i , j y k son los vectores unitarios para los ejes x , y y z , respectivamente. En notación de índices se escribe ^{[ 55 ].}

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

La divergencia indica el flujo neto de un campo vectorial alrededor de un punto, como un aumento o disminución de la densidad de partículas. Es decir, si la ubicación es una fuente o un sumidero . ^{[ 56 ]} La divergencia de un campo vectorial (diferenciable) F = U i + V j + W k , es decir, una función${\displaystyle \mathbf {F}$ :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} , es igual a lafunción escalar con valores: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

En notación de índice, con la convención de suma de Einstein, esto es ^{[ 55 ].}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

El rotor (o rotacional) es un vector que indica la circulación rotacional de un campo vectorial. Expandido en coordenadas cartesianas (véase Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para representaciones de coordenadas esféricas y cilíndricas ), el rotor ∇ × F es, para F compuesto por [ F _x , F _y , F _z ]: ^{[ 57 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

Esto se expande de la siguiente manera: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

En notación de índice, con la convención de suma de Einstein, esto es ^{[ 55 ].}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$ dónde${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$es el símbolo totalmente antisimétrico, el símbolo de Levi-Civita .

Una integral de línea de una función a lo largo de una curva puede pensarse como una suma continua del valor de la función a lo largo de cada incremento infinitesimal de esa curva. Para algún campo escalar f  : U ⊆ R ⁿ → R , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U se define como ^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

donde r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria (correspondencia uno a uno) de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos extremos de C y${\displaystyle a<b}$.

Para un campo vectorial F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U , en la dirección de r , se define como ^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

dónde${\displaystyle \cdot }$es el producto escalar y r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos extremos de C . Un subtipo de integral de línea que se encuentra en física es el bucle cerrado plano, que determina la circulación de la función alrededor del bucle ^{[ 59 ]}

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

Una integral de superficie es una generalización de las integrales múltiples a la integración sobre superficies . Puede considerarse como el análogo de la integral doble de la integral de línea. Para encontrar una fórmula explícita para la integral de superficie, necesitamos parametrizar la superficie de interés, S , considerando un sistema de coordenadas curvilíneas en S , como la latitud y la longitud en una esfera . Sea dicha parametrización x ( s , t ), donde ( s , t ) varía en alguna región T en el plano . Entonces, la integral de superficie viene dada por

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

donde la expresión entre barras en el lado derecho es la magnitud del producto vectorial de las derivadas parciales de x ( s , t ), y se conoce como el elemento de superficie . Dado un campo vectorial v en S , que es una función que asigna a cada x en S un vector v ( x ), la integral de superficie se puede definir componente a componente según la definición de la integral de superficie de un campo escalar; el resultado es un vector.

Una integral de volumen es una integral sobre un dominio o región tridimensional . Cuando el integrando es trivial (unidad), la integral de volumen es simplemente el volumen de la región . ^{[ 60 ] [ 1 ]} También puede significar una integral triple dentro de una región D en R ³ de una función${\displaystyle f(x,y,z),}$y se suele escribir como:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

El teorema fundamental de las integrales de línea establece que una integral de línea a través de un campo gradiente puede evaluarse evaluando el campo escalar original en los extremos de la curva. ^{[ 61 ]}

Dejar${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. Entonces

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

El teorema de Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial F sobre una superficie Σ en el espacio euclidiano tridimensional con la integral de línea del campo vectorial sobre su frontera ∂Σ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Supongamos que V es un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(en el caso de n = 3, V representa un volumen en el espacio 3D) que es compacto y tiene un límite suave por partes S (también indicado con ∂ V = S ). Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en un entorno de V , entonces el teorema de la divergencia dice: ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

El lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V , el lado derecho es la integral de superficie sobre el contorno del volumen V. La variedad cerrada ∂V es , en general , el contorno de V orientado por normales que apuntan hacia afuera , y n es el campo normal unitario que apunta hacia afuera del contorno ∂V . ( dS puede usarse como una abreviatura de n dS ) .