Fuentes y sumideros

En electrodinámica , la densidad de corriente se comporta de forma similar a la hidrodinámica, ya que también sigue una ecuación de continuidad debido a la conservación de la carga :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma }$,

donde esta vez${\displaystyle \rho _{e}}$es la densidad de carga ,${\displaystyle \mathbf {j} }$es el vector de densidad actual , y${\displaystyle \sigma }$es el término fuente-sumidero actual. La fuente y los sumideros actuales son donde emerge la densidad de corriente.${\displaystyle \sigma >0}$o desaparece${\displaystyle \sigma <0}$, respectivamente (por ejemplo, la fuente y el sumidero pueden representar los dos polos de una batería eléctrica en un circuito cerrado). ^{[ 4 ]}

El concepto también se utiliza para los campos electromagnéticos, donde el flujo de fluido se reemplaza por líneas de campo . ^{[ 5 ]} Para un campo eléctrico${\displaystyle \mathbf {E} }$, una fuente es un punto del que emanan líneas de campo eléctrico, como una carga positiva (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} >0}$), mientras que un sumidero es donde convergen las líneas de campo (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} <0}$), como una carga negativa. ^{[ 6 ]} Esto sucede porque los campos eléctricos siguen la ley de Gauss dada por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{e}/\epsilon _{0}}$,

dónde ${\displaystyle \epsilon _{0}}$es la permitividad del vacío . En este sentido, para un campo magnético${\displaystyle \mathbf {B} }$No hay fuentes ni sumideros porque no hay monopolos magnéticos como los describe la ley de Gauss para el magnetismo, que establece que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$. ^{[ 7 ]}

Los campos eléctricos y magnéticos también transportan energía como lo describe el teorema de Poynting , dado por

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$

dónde${\displaystyle u}$es la densidad de energía electromagnética ,${\displaystyle \mathbf {S} }$es el vector de Poynting y${\displaystyle -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$puede considerarse como un término fuente-sumidero de energía. ^{[ 8 ]}

De forma similar a los campos eléctricos y magnéticos, se puede analizar el caso de un campo gravitatorio newtoniano.${\displaystyle \mathbf {g} }$descrito por la ley de Gauss para la gravedad ,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho }$,

dónde${\displaystyle G}$es la constante gravitacional . Como la gravedad solo es atractiva (${\displaystyle \rho \geq 0}$), solo hay sumideros gravitacionales pero no fuentes. Los sumideros están representados por masas puntuales . ^{[ 9 ]}

En termodinámica, las fuentes y los sumideros corresponden a dos tipos de depósitos térmicos , donde se suministra o se extrae energía, como las fuentes de flujo de calor o los sumideros de calor . En la conducción térmica, esto se describe mediante la ecuación del calor . ^{[ 10 ]} Estos términos también se utilizan en la termodinámica del no equilibrio al introducir la idea de fuentes y sumideros de flujo de entropía . ^{[ 11 ]}

En la teoría del caos y los sistemas complejos , la idea de fuentes y sumideros se utiliza para describir repulsores y atractores , respectivamente. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Esta terminología también se utiliza en el análisis complejo , ya que los números complejos pueden describirse como vectores en el plano complejo . Las fuentes y los sumideros se asocian con los ceros y polos de las funciones meromorfas , que representan entradas y salidas en una función armónica . Una función compleja se define como fuente o sumidero si tiene un polo de orden uno. ^{[ 14 ]}

En topología , la terminología de fuentes y sumideros se utiliza al hablar de un campo vectorial sobre una variedad diferenciable compacta . En este contexto, el índice de un campo vectorial es +1 si es una fuente o un sumidero; si es -1, se denomina punto de silla. Este concepto resulta útil para introducir el teorema de Poincaré-Hopf y el teorema de la bola peluda . ^{[ 15 ]}