Integración de disco

Si la función que se va a revolucionar es una función de x , la siguiente integral representa el volumen del sólido de revolución:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

donde R ( x ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto funciona solo si el eje de rotación es horizontal (por ejemplo: y = 3 o alguna otra constante).

Si la función a rotar es una función de y , la siguiente integral permitirá obtener el volumen del sólido de revolución:

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

donde R ( y ) es la distancia entre la función y el eje de rotación. Esto funciona solo si el eje de rotación es vertical (por ejemplo: x = 4 o alguna otra constante).

Para obtener un sólido de revolución hueco (el “método de la arandela”), el procedimiento consistiría en tomar el volumen del sólido de revolución interior y restarlo del volumen del sólido de revolución exterior. Esto se puede calcular mediante una única integral similar a la siguiente:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

donde R _O ( x ) es la función más alejada del eje de rotación y R _I ( x ) es la función más cercana al eje de rotación. Por ejemplo, la siguiente figura muestra la rotación a lo largo del eje x de la "hoja" roja encerrada entre las curvas de raíz cuadrada y cuadrática:

El volumen de este sólido es:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Hay que tener cuidado de no calcular el cuadrado de la diferencia de las dos funciones, sino de calcular la diferencia de los cuadrados de las dos funciones.

${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$

(Esta fórmula solo funciona para revoluciones alrededor del eje x ).

Para rotar alrededor de cualquier eje horizontal, simplemente reste ese eje de cada fórmula. Si h es el valor de un eje horizontal, entonces el volumen es igual a

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Por ejemplo, para rotar la región entre y = −2 x + x ² e y = x a lo largo del eje y = 4 , se integraría de la siguiente manera:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

Los límites de integración son los ceros de la primera ecuación menos los de la segunda. Nótese que al integrar a lo largo de un eje distinto del x , la gráfica de la función más alejada del eje de rotación puede no ser evidente. En el ejemplo anterior, aunque la gráfica de y = x está, con respecto al eje x, más arriba que la gráfica de y = −2 x + x² , con respecto al eje de rotación la función y = x es la función interna: su gráfica está más cerca de y = 4 o ^de la ecuación del eje de rotación en el ejemplo.

La misma idea se puede aplicar tanto al eje y como a cualquier otro eje vertical. Simplemente hay que despejar x en cada ecuación antes de sustituirla en la fórmula de integración.