Desigualdad isoperimétrica

En matemáticas , la desigualdad isoperimétrica es una desigualdad geométrica que involucra el cuadrado de la circunferencia de una curva cerrada en el plano y el área de la región plana que encierra, así como sus diversas generalizaciones. Isoperimétrico significa literalmente "que tiene el mismo perímetro ". Específicamente, la desigualdad isoperimétrica establece, para la longitud L de una curva plana cerrada y el área A de la región que encierra, que

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

y esa igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo.

El problema isoperimétrico consiste en determinar una figura plana de la mayor área posible cuyo contorno tenga una longitud específica. ^{[ 1 ]} El problema de Dido, estrechamente relacionado , plantea la búsqueda de una región de área máxima delimitada por una línea recta y un arco curvilíneo cuyos extremos se encuentran en dicha línea. Recibe su nombre de Dido , la legendaria fundadora y primera reina de Cartago . La solución al problema isoperimétrico está dada por un círculo y era conocida ya en la Antigua Grecia . Sin embargo, la primera demostración matemáticamente rigurosa de este hecho se obtuvo recién en el siglo XIX. Desde entonces, se han encontrado muchas otras demostraciones.

El problema isoperimétrico se ha extendido de diversas maneras, por ejemplo, a curvas en superficies y a regiones en espacios de dimensiones superiores. Quizás la manifestación física más conocida de la desigualdad isoperimétrica tridimensional sea la forma de una gota de agua. Una gota suele adoptar una forma redonda y simétrica. Dado que la cantidad de agua en una gota es fija, la tensión superficial la obliga a adoptar una forma que minimice su área superficial, es decir, una esfera.

El problema isoperimétrico clásico se remonta a la antigüedad. ^{[ 2 ]} El problema se puede plantear de la siguiente manera: Entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿cuál (si la hay) maximiza el área de su región encerrada? Se puede demostrar que esta pregunta es equivalente al siguiente problema: Entre todas las curvas cerradas en el plano que encierran un área fija, ¿cuál (si la hay) minimiza el perímetro?

Este problema está conceptualmente relacionado con el principio de mínima acción en física , ya que puede reformularse de la siguiente manera: ¿cuál es el principio de acción que abarca la mayor área con la mayor economía de esfuerzo? El filósofo y científico del siglo XV, el cardenal Nicolás de Cusa , consideraba que la acción rotacional , el proceso mediante el cual se genera un círculo , era el reflejo más directo, en el ámbito de las impresiones sensoriales, del proceso por el cual se crea el universo. El astrónomo y astrólogo alemán Johannes Kepler invocó el principio isoperimétrico al analizar la morfología del Sistema Solar en su obra Mysterium Cosmographicum ( El Sagrado Misterio del Cosmos , 1596).

Aunque el círculo parece una solución obvia al problema, demostrarlo resulta bastante difícil. El primer avance hacia la solución lo realizó el geómetra suizo Jakob Steiner en 1838, utilizando un método geométrico que más tarde se denominó simetrización de Steiner . ^{[ 3 ]} Steiner demostró que, si existía una solución, esta debía ser el círculo. La demostración de Steiner fue completada posteriormente por otros matemáticos .

Steiner comienza con algunas construcciones geométricas de fácil comprensión; por ejemplo, se puede demostrar que cualquier curva cerrada que encierre una región no totalmente convexa puede modificarse para abarcar una mayor área, invirtiendo las zonas cóncavas para que se vuelvan convexas. Asimismo, se puede demostrar que cualquier curva cerrada que no sea totalmente simétrica puede inclinarse para abarcar una mayor área. La única figura perfectamente convexa y simétrica es el círculo, aunque esto, por sí solo, no constituye una demostración rigurosa del teorema isoperimétrico (véanse los enlaces externos).

La solución al problema isoperimétrico se suele expresar en forma de una desigualdad que relaciona la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana que encierra. La desigualdad isoperimétrica establece que

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

y que la igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo. El ^área de un disco de radio R es πR² y la circunferencia del círculo es 2πR ^{, por lo} que ambos lados de la desigualdad son iguales a 4π²R² en ^este caso .

Se han encontrado docenas de demostraciones de la desigualdad isoperimétrica. En 1902, Hurwitz publicó una demostración breve utilizando la serie de Fourier que se aplica a curvas rectificables arbitrarias (sin asumir que sean suaves). En 1938, E. Schmidt dio una elegante demostración directa basada en la comparación de una curva cerrada simple y suave con un círculo apropiado. Esta utiliza únicamente la fórmula de la longitud de arco , la expresión para el área de una región plana del teorema de Green y la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

Para una curva cerrada dada, el cociente isoperimétrico se define como la razón entre su área y la del círculo que tiene el mismo perímetro. Esto es igual a

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

y la desigualdad isoperimétrica dice que Q ≤ 1. Equivalentemente, la razón isoperimétrica L ² / A es al menos 4 π para cada curva.

El cociente isoperimétrico de un n -gono regular es

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.}$

Dejar${\displaystyle C}$Sea una curva cerrada, convexa, regular y suave. Entonces, la desigualdad isoperimétrica mejorada establece lo siguiente:

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

dónde${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$denotan la longitud de${\displaystyle C}$, el área de la región delimitada por${\displaystyle C}$y el área orientada de la cáustica de Wigner de${\displaystyle C}$, respectivamente, y la igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle C}$es una curva de ancho constante . ^{[ 4 ]}

Sea C una curva cerrada simple sobre una esfera de radio 1. Denotemos por L la longitud de C y por A el área encerrada por C. La desigualdad isoperimétrica esférica establece que

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

y que la igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo. De hecho, existen dos maneras de medir el área esférica encerrada por una curva cerrada simple, pero la desigualdad es simétrica con respecto al cálculo del complemento.

Esta desigualdad fue descubierta por Paul Lévy (1919), quien también la extendió a dimensiones superiores y superficies generales. ^{[ 5 ]}

En el caso más general de radio arbitrario R , se sabe ^{[ 6 ]} que

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

La desigualdad isoperimétrica establece que una esfera tiene la menor área superficial por volumen dado. Dado un conjunto abierto acotado${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$con${\displaystyle C^{1}}$límite, que tiene área superficial${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$y volumen${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$, los estados de desigualdad isoperimétrica

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},}$

dónde${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$es una bola unitaria . La igualdad se cumple cuando${\displaystyle S}$es una pelota en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Bajo restricciones adicionales sobre el conjunto (como convexidad , regularidad , frontera suave ), la igualdad se cumple solo para una bola. Pero en generalidad, la situación es más complicada. El resultado relevante de Schmidt (1949 , Sec. 20.7) (para una demostración más sencilla, véase Baebler (1957) ) se aclara en Hadwiger (1957 , Sec. 5.2.5) de la siguiente manera. Un conjunto extremal consiste en una bola y una "corona" que no contribuye ni al volumen ni al área de la superficie. Es decir, la igualdad se cumple para un conjunto compacto.${\displaystyle S}$si y solo si${\displaystyle S}$contiene una bola cerrada${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)}$y${\displaystyle \operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).}$Por ejemplo, la "corona" puede ser una curva.

La demostración de la desigualdad se deduce directamente de la desigualdad de Brunn-Minkowski entre un conjunto${\displaystyle S}$y una bola con radio${\displaystyle \epsilon }$, es decir${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$. En efecto,${\displaystyle \operatorname {vol} (A+B_{\epsilon })\geq (\operatorname {vol} (A)^{1/n}+\operatorname {vol} (B_{\epsilon })^{1/n})^{n}\geq \operatorname {vol} (A)+n\operatorname {vol} (A)^{(n-1)/n}\epsilon \operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}.}$La desigualdad isoperimétrica se obtiene restando${\textstyle \operatorname {vol} (A)}$, dividiendo por${\displaystyle \epsilon }$y tomando el límite como${\displaystyle \epsilon \to 0.}$( Osserman (1978) ; Federer (1969 , §3.2.43) ).

En su máxima generalidad ( Federer 1969 , §3.2.43) , la desigualdad isoperimétrica establece que para cualquier conjunto${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$cuyo cierre tiene medida de Lebesgue finita

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

dónde${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$es el contenido de Minkowski ( n -1)-dimensional , L ⁿ es la medida de Lebesgue n- dimensional y ω _n es el volumen de la bola unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Si el límite de S es rectificable , entonces el contenido de Minkowski es la medida de Hausdorff ( n -1)-dimensional .

La desigualdad isoperimétrica n -dimensional es equivalente (para dominios suficientemente suaves) a la desigualdad de Sobolev en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con constante óptima:

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

a pesar de${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Las variedades de Hadamard son variedades completas simplemente conexas con curvatura no positiva. Por lo tanto, generalizan el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, que es una variedad de Hadamard con curvatura cero. En los años 70 y principios de los 80, Thierry Aubin , Misha Gromov , Yuri Burago y Viktor Zalgaller conjeturaron que la desigualdad isoperimétrica euclidiana

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$

se cumple para conjuntos acotados${\displaystyle S}$en variedades de Hadamard, lo que se conoce como la conjetura de Cartan-Hadamard . En dimensión 2, esto ya había sido establecido en 1926 por André Weil , quien era estudiante de Hadamard en ese momento. En dimensiones 3 y 4, la conjetura fue demostrada por Bruce Kleiner en 1992 y Chris Croke en 1984, respectivamente.

La mayor parte del trabajo sobre el problema isoperimétrico se ha realizado en el contexto de regiones suaves en espacios euclidianos o, más generalmente, en variedades riemannianas . Sin embargo, el problema isoperimétrico puede formularse con mucha mayor generalidad, utilizando la noción de contenido de Minkowski . Sea${\displaystyle (X,\mu ,d)}$Sea X un espacio métrico con medida d , y μ es una medida de Borel en X. La medida de frontera , o contenido de Minkowski , de un subconjunto medible A de X se define como el límite inferior de la medida de frontera .

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

dónde

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

es la extensión ε de A.

El problema isoperimétrico en X pregunta cuán pequeño puede${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$sea ​​para un μ ( A ) dado . Si X es el plano euclidiano con la distancia usual y la medida de Lebesgue entonces esta pregunta generaliza el problema isoperimétrico clásico a regiones planas cuyo límite no es necesariamente liso, aunque la respuesta resulta ser la misma.

La función

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

se denomina perfil isoperimétrico del espacio de medidas métricas${\displaystyle (X,\mu ,d)}$Se han estudiado perfiles isoperimétricos para grafos de Cayley de grupos discretos y para clases especiales de variedades riemannianas (donde normalmente solo se consideran regiones A con frontera regular).

En la teoría de grafos , las desigualdades isoperimétricas son fundamentales para el estudio de los grafos expansores , que son grafos dispersos con fuertes propiedades de conectividad. Las construcciones de grafos expansores han impulsado la investigación en matemáticas puras y aplicadas, con diversas aplicaciones a la teoría de la complejidad , el diseño de redes informáticas robustas y la teoría de códigos correctores de errores . ^{[ 7 ]}

Las desigualdades isoperimétricas para grafos relacionan el tamaño de los subconjuntos de vértices con el tamaño de su frontera, que generalmente se mide por el número de aristas que salen del subconjunto (expansión de aristas) o por el número de vértices vecinos (expansión de vértices). Para un grafo${\displaystyle G}$y un número${\displaystyle k}$, los siguientes son dos parámetros isoperimétricos estándar para gráficos. ^{[ 8 ]}

• El parámetro isoperimétrico del borde:$${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$$
• El parámetro isoperimétrico del vértice:$${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$$

Aquí${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$denota el conjunto de aristas que salen${\displaystyle S}$y${\displaystyle \Gamma (S)}$denota el conjunto de vértices que tienen un vecino en${\displaystyle S}$El problema isoperimétrico consiste en comprender cómo los parámetros${\displaystyle \Phi _{E}}$y${\displaystyle \Phi _{V}}$comportarse para familias naturales de grafos.

La desigualdad isoperimétrica para triángulos en términos de perímetro p y área T establece que ^{[ 13 ]}

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

con igualdad para el triángulo equilátero . Esto está implícito, a través de la desigualdad AM-GM , por una desigualdad más fuerte que también se ha llamado desigualdad isoperimétrica para triángulos: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

• Teorema de Blaschke-Lebesgue
• Problema de Chaplygin : el problema isoperimétrico es un caso de velocidad del viento cero del problema de Chaplygin.
• Flujo que acorta la curva
• Gráfico expansor
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