Problema de conjugación

En álgebra abstracta , el problema de conjugación para un grupo G con una presentación dada es el problema de decisión de determinar, dadas dos palabras x e y en G , si representan o no elementos conjugados de G. Es decir, el problema consiste en determinar si existe un elemento z de G tal que

${\displaystyle y=zxz^{-1}.\,\!}$

El problema de la conjugación también se conoce como el problema de la transformación .

El problema de la conjugación fue identificado por Max Dehn en 1911 como uno de los problemas de decisión fundamentales en la teoría de grupos; los otros dos son el problema de la palabra y el problema del isomorfismo . El problema de la conjugación contiene el problema de la palabra como un caso especial: si x e y son palabras, decidir si son la misma palabra es equivalente a decidir si${\displaystyle xy^{-1}}$es la identidad, que es lo mismo que decidir si es conjugada a la identidad. En 1912, Dehn dio un algoritmo que resuelve tanto el problema de la palabra como el de la conjugación para los grupos fundamentales de variedades bidimensionales cerradas y orientables de género mayor o igual a 2 (los casos de género 0 y género 1 son triviales).

Se sabe que el problema de la conjugación es indecidible para muchas clases de grupos. Las clases de presentaciones de grupos para las que se sabe que es resoluble incluyen:

• grupos libres (sin relacionadores definitorios)
• grupos de un solo relacionador con torsión
• grupos de trenzas
• grupos de nudos
• grupos separables de conjugación presentados de forma finita
• Grupos abelianos finitamente generados (los relatores incluyen todos los conmutadores)
• Grupos hiperbólicos de Gromov
• grupos biautomáticos
• Grupos CAT(0)
• Grupos fundamentales de variedades tridimensionales geometrizables

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