grupo de nudos

En matemáticas , un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional . El grupo de nudos de un nudo K se define como el grupo fundamental del complemento de nudos de K en R ³ ,

${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K\right).}$

Otras convenciones consideran que los nudos están incrustados en la 3-esfera, en cuyo caso el grupo de nudos es el grupo fundamental de su complemento en${\displaystyle S^{3}}$.

Dos nudos equivalentes tienen grupos de nudos isomorfos , por lo que el grupo de nudos es un invariante de nudos y puede usarse para distinguir entre ciertos pares de nudos no equivalentes. Esto se debe a que una equivalencia entre dos nudos es un autohomeomorfismo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$que es isotópico a la identidad y envía el primer nudo al segundo. Dicho homeomorfismo se restringe a un homeomorfismo de los complementos de los nudos, y este homeomorfismo restringido induce un isomorfismo de grupos fundamentales. Sin embargo, es posible que dos nudos no equivalentes tengan grupos de nudos isomorfos (véase más abajo un ejemplo).

La abelianización de un grupo de nudos es siempre isomorfa al grupo cíclico infinito Z ; esto se debe a que la abelianización coincide con el primer grupo de homología , que se puede calcular fácilmente.

El grupo de nudos (o grupo fundamental de un enlace orientado en general) se puede calcular en la representación de Wirtinger mediante un algoritmo relativamente sencillo.

• El nudo sin nudo tiene un grupo de nudos isomorfo a Z.
• El nudo de trébol tiene un grupo de nudos isomorfo al grupo de trenzas B ₃ . Este grupo tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$o${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab\rangle .}$

• Un nudo toroide ( p , q ) tiene un grupo de nudos con presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle.}$

• El nudo de ocho tiene un grupo de nudos con presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle }$

• El nudo cuadrado y el nudo de la abuela tienen grupos de nudos isomorfos, pero estos dos nudos no son equivalentes.

• Grupo de enlace

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001), " Grupos de nudos y enlaces ", Enciclopedia de matemáticas , Springer, ISBN 978-1556080104