Belleza matemática

La identidad de Euler se suele citar como ejemplo de un resultado hermoso: ^{[ 3 ] : 1–3 [ 4 ] : 835–836 [ 5 ]}

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,.}$$

Esta expresión relaciona las que posiblemente sean las cinco constantes matemáticas más importantes ( e , i , π, 1 y 0) con los dos símbolos matemáticos más comunes (+, =). La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler , que el físico Richard Feynman denominó «nuestra joya» y «la fórmula más notable de las matemáticas». ^{[ 6 ]}

Otro ejemplo es el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que dice que cualquier número primo tal que${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$se puede escribir como una suma de dos números cuadrados (por ejemplo,${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$,${\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}$,${\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}$), que tanto GH Hardy ^{[ 7 ] : §12} como ET Bell ^{[ 8 ] : cap.4} consideraron un resultado hermoso.

En una encuesta en la que se pidió a los matemáticos que evaluaran 24 teoremas por su belleza, los tres teoremas mejor calificados fueron: ^{[ 9 ]} la ecuación de Euler; la fórmula del poliedro de Euler , que afirma que para un poliedro con V vértices, E aristas y F caras,${\displaystyle V-E+F=2}$y el teorema de Euclides que afirma que existen infinitos números primos, que Hardy también presentó como ejemplo de un hermoso teorema. ^{[ 7 ] : §12}

El argumento diagonal de Cantor , que establece que hay conjuntos infinitos que no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto infinito de números naturales , ha sido citado tanto por matemáticos ^{[ 10 ]} como por filósofos ^{[ 11 ]} como un ejemplo de una hermosa demostración.

Las demostraciones visuales, como la demostración ilustrada del teorema de Pitágoras , y otras demostraciones sin palabras en general, como la demostración mostrada de que la suma de todos los números impares positivos hasta 2n − 1 es un cuadrado perfecto , se han considerado bellas. ^{[ 12 ]}  

El matemático Paul Erdős habló de El Libro , un libro infinito imaginario en el que Dios ha escrito todas las demostraciones matemáticas más bellas. Cuando Erdős quería expresar una apreciación particular por una demostración, la proclamaba "¡directamente del Libro!". ^{[ 13 ] : 35} Su recurso retórico inspiró la creación de Demostraciones del Libro , una colección de tales demostraciones, incluyendo muchas sugeridas por el propio Erdős. ^{[ 14 ] : v}

En el Timeo de Platón , los cinco poliedros convexos regulares , llamados sólidos platónicos por su papel en este diálogo, son denominados los cuerpos "más bellos" ("κάλλιστα"). ^{[ 15 ] : 53e} En el Timeo , se describe que fueron utilizados por el demiurgo , o creador-artesano que construye el cosmos, para los cuatro elementos clásicos más los cielos, debido a su belleza. ^{[ 15 ] : 54e–55e}

En su libro de 1596 , Mysterium Cosmographicum , Johannes Kepler argumentó que las órbitas de los planetas conocidos en aquel entonces en el Sistema Solar habían sido dispuestas por Dios para corresponder a una disposición concéntrica de los cinco sólidos platónicos , cada órbita situada sobre la circunsfera de un poliedro y la insfera de otro. Para Kepler, Dios había querido dar forma al universo según los cinco sólidos regulares debido a su belleza, y esto explicaba por qué había seis planetas (según el conocimiento de la época). ^{[ 16 ] : cap. 3 [ 4 ] : 280-285}

Un ejemplo más moderno es el excepcional grupo de Lie simple.${\displaystyle E_{8}}$, que ha sido llamada "quizás la estructura más hermosa de todas las matemáticas". ^{[ 17 ]}

Las formulaciones matemáticas de las teorías científicas, especialmente en física, a veces se consideran matemáticamente bellas. Por ejemplo, Roger Penrose pensaba que había una "belleza especial" en las ecuaciones de Maxwell sobre el electromagnetismo: ^{[ 18 ] : 268}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

La teoría de la relatividad general de Einstein ha sido caracterizada como una obra de arte y, entre otros elogios estéticos, ^{[ 19 ] : 148} fue descrita por Paul Dirac como poseedora de una "gran belleza matemática" ^{[ 20 ] : 123} y por Penrose como poseedora de una "suprema belleza matemática". ^{[ 21 ] : 1038}

(La belleza de una teoría científica puede ir más allá de su simple formulación matemática. Por ejemplo, el hecho de que una teoría sea visualizable o determinista puede influir en si se la considera bella. ^{[ 22 ] : 53 [ 4 ] : 873–877} )

En su ensayo de 1940 , Apología de un matemático , G. H. Hardy afirmó que un resultado bello, incluyendo su demostración, posee tres «cualidades puramente estéticas», a saber: «inevitabilidad», «sorpresa» y «economía». Excluyó particularmente la enumeración de casos como «una de las formas más tediosas de argumentación matemática». ^{[ 7 ] : §18}

En 1997, Gian-Carlo Rota discrepó con la idea de que lo inesperado fuera una condición suficiente para la belleza y propuso un contraejemplo:

Muchos teoremas matemáticos, cuando se publican por primera vez, parecen sorprendentes; así, por ejemplo, hace unos veinte años [desde 1977], la demostración de la existencia de estructuras diferenciables no equivalentes en esferas de alta dimensión se consideró sorprendente, pero a nadie se le ocurrió calificar tal hecho de bello, ni entonces ni ahora. ^{[ 2 ] : 172}

En cambio, Monastyrsky escribió en 2001:

Es muy difícil encontrar en el pasado una invención análoga a la hermosa construcción de Milnor de las diferentes estructuras diferenciales en la esfera de siete dimensiones... La demostración original de Milnor no fue muy constructiva, pero más tarde E. Briscorn demostró que estas estructuras diferenciales pueden describirse de una forma extremadamente explícita y elegante. ^{[ 24 ] : 44}

Este desacuerdo ilustra tanto la naturaleza subjetiva de la belleza matemática, como otras formas de belleza en general , como su conexión con los resultados matemáticos: en este caso, no solo la existencia de esferas exóticas, sino también una realización particular de las mismas.

Además de las propiedades de "imprevisibilidad", "inevitabilidad" y "economía" de Hardy, que aplicó tanto a las demostraciones como a los resultados, los matemáticos han considerado habitualmente demostraciones bellas, breves y sencillas. ^{[ 25 ] : 22}

En la búsqueda de una demostración elegante, los matemáticos suelen buscar diferentes maneras independientes de probar un resultado, ya que la primera demostración encontrada a menudo se puede mejorar. El teorema para el que se ha descubierto el mayor número de demostraciones diferentes es posiblemente el teorema de Pitágoras , con cientos de demostraciones publicadas. ^{[ 26 ]} Otro teorema que se ha demostrado de muchas maneras diferentes es el teorema de reciprocidad cuadrática . De hecho, Carl Friedrich Gauss, por sí solo, tenía ocho demostraciones diferentes de este teorema, seis de las cuales publicó. ^{[ 27 ]}

Por el contrario, los resultados que son lógicamente correctos pero que implican cálculos laboriosos o la consideración de muchos casos, no suelen considerarse bellos, e incluso pueden calificarse de feos o torpes . Por ejemplo, la demostración del teorema de los cuatro colores de Kenneth Appel y Wolfgang Haken utilizó la verificación por computadora de más de mil casos. Philip J. Davis y Reuben Hersh dijeron que cuando oyeron hablar por primera vez de la demostración, esperaban que contuviera una nueva perspectiva «cuya belleza transformaría mi día», y se desanimaron al saber que la demostración se basaba en la enumeración de casos y la verificación por computadora. ^{[ 28 ] : 384} Paul Erdős dijo que «no era bella» porque no aportaba ninguna idea sobre por qué el teorema era verdadero. ^{[ 29 ] : 44}

En la década de 1970, Abraham Moles y Frieder Nake analizaron los vínculos entre la belleza, el procesamiento de la información y la teoría de la información . ^{[ 34 ] [ 35 ]} En la década de 1990, Jürgen Schmidhuber formuló una teoría matemática de la belleza subjetiva dependiente del observador basada en la teoría de la información algorítmica : los objetos más bellos entre objetos subjetivamente comparables tienen descripciones algorítmicas cortas (es decir, complejidad de Kolmogorov ) en relación con lo que el observador ya sabe. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} Schmidhuber distingue explícitamente entre bello e interesante. Este último corresponde a la primera derivada de la belleza percibida subjetivamente: el observador intenta continuamente mejorar la predictibilidad y la compresibilidad de las observaciones descubriendo regularidades como repeticiones y simetrías y autosimilitud fractal . Siempre que el proceso de aprendizaje del observador (posiblemente una red neuronal artificial predictiva ) conduce a una mejor compresión de datos, de modo que la secuencia de observación se puede describir con menos bits que antes, el interés temporal de los datos corresponde al progreso de la compresión y es proporcional a la recompensa de la curiosidad interna del observador. ^{[ 39 ] [ 40 ]}

Los experimentos de neuroimagen realizados por Semir Zeki , Michael Atiyah y colaboradores muestran que la experiencia de la belleza matemática tiene, como correlato neuronal, actividad en el campo A1 de la corteza orbitofrontal medial (mOFC) del cerebro y que esta actividad está relacionada paramétricamente con la intensidad declarada de la belleza. La ubicación de la actividad es similar a la ubicación de la actividad que se correlaciona con la experiencia de la belleza proveniente de otras fuentes, como las artes visuales o la música. ^{[ 41 ]} Además, los matemáticos parecen reacios a revisar su juicio sobre la belleza de una fórmula matemática a la luz de opiniones contradictorias de sus colegas. ^{[ 42 ]}

Ejemplos del uso de las matemáticas en la música incluyen la música estocástica de Iannis Xenakis , ^{[ 43 ]} la secuencia de Fibonacci en Lateralus de Tool , ^{[ 44 ]} y la modulación métrica de Elliott Carter . ^{[ 45 ]}

Otros ejemplos incluyen el contrapunto de Johann Sebastian Bach , las estructuras polirrítmicas (como en La consagración de la primavera de Igor Stravinsky ), la teoría de la permutación en el serialismo que comienza con Arnold Schoenberg , la aplicación de los tonos de Shepard en los Himnos de Karlheinz Stockhausen y la aplicación de la teoría de grupos a las transformaciones en la música en los escritos teóricos de David Lewin .

Algunos ejemplos del uso de las matemáticas en las artes visuales incluyen aplicaciones de la teoría del caos y la geometría fractal al arte generado por computadora , estudios de simetría de Leonardo da Vinci , geometrías proyectivas en el desarrollo de la teoría de la perspectiva del arte renacentista , cuadrículas en el Op Art , geometría óptica en la cámara oscura de Giambattista della Porta y perspectiva múltiple en el cubismo analítico y el futurismo .

La geometría sagrada constituye un campo de estudio en sí mismo, dando origen a innumerables formas artísticas, incluyendo algunos de los símbolos místicos y motivos religiosos más conocidos, y posee una historia particularmente rica en la arquitectura islámica . También ofrece un medio para la meditación y la contemplación, como por ejemplo el estudio de las Sefirot de la Cábala (Árbol de la Vida) y el Cubo de Metatrón ; así como el acto mismo de dibujar.

El diseñador gráfico holandés M.C. Escher creó grabados en madera , litografías y mezzotintas de inspiración matemática . En ellos se aprecian construcciones imposibles, exploraciones del infinito , arquitectura, paradojas visuales y teselaciones .

Algunos pintores y escultores crean obras distorsionadas mediante los principios matemáticos de la anamorfosis , entre ellos el escultor sudafricano Jonty Hurwitz .

El origami , el arte de doblar papel, posee cualidades estéticas y numerosas conexiones matemáticas. Se puede estudiar la matemática del plegado de papel observando el patrón de pliegues en las piezas de origami desplegadas. ^{[ 46 ]}

El artista constructivista británico John Ernest creó relieves y pinturas inspirados en la teoría de grupos. ^{[ 47 ]} Varios otros artistas británicos de las escuelas de pensamiento constructivista y sistémica también recurren a modelos y estructuras matemáticas como fuente de inspiración, incluidos Anthony Hill y Peter Lowe . ^{[ 48 ]} El arte generado por computadora se basa en algoritmos matemáticos .