Teoría de los personajes

En matemáticas , más específicamente en teoría de grupos , el carácter de una representación de grupo es una función definida sobre el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente . El carácter contiene la información esencial sobre la representación de forma condensada. Georg Frobenius desarrolló inicialmente una teoría de representaciones de grupos finitos basada enteramente en los caracteres, sin ninguna realización matricial explícita de las representaciones mismas. Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finito está determinada (salvo isomorfismo ) por su carácter. La situación con representaciones sobre un cuerpo de característica positiva , las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer también desarrolló una poderosa teoría de caracteres en este caso. Muchos teoremas profundos sobre la estructura de los grupos finitos utilizan caracteres de representaciones modulares .

Los caracteres de las representaciones irreducibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por lo tanto, pueden usarse para estudiar su estructura. La teoría de caracteres es una herramienta esencial en la clasificación de grupos simples finitos . Casi la mitad de la demostración del teorema de Feit-Thompson implica cálculos complejos con valores de caracteres. Resultados más sencillos, pero igualmente esenciales, que utilizan la teoría de caracteres incluyen el teorema de Burnside (desde entonces se ha encontrado una demostración puramente teórica de grupos del teorema de Burnside, pero esa demostración llegó más de medio siglo después de la demostración original de Burnside), y un teorema de Richard Brauer y Michio Suzuki que establece que un grupo simple finito no puede tener un grupo de cuaterniones generalizado como su subgrupo de Sylow 2 .

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo F y sea ρ  : G → GL( V ) una representación de un grupo G en V . El carácter de ρ es la función χ _ρ  : G → F dada por

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$

donde Tr es la traza .

Un carácter χ _ρ se denomina irreducible o simple si ρ es una representación irreducible . El grado del carácter χ es la dimensión de ρ ; en característica cero, esto es igual al valor χ (1) . Un carácter de grado 1 se denomina lineal . Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χ _ρ es el subgrupo normal :

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

que es precisamente el núcleo de la representación ρ . Sin embargo, el carácter no es un homomorfismo de grupo en general.

• Los caracteres son funciones de clase , es decir, cada uno toma un valor constante en una clase de conjugación dada . Más precisamente, el conjunto de caracteres irreducibles de un grupo G dado en un cuerpo F forma una base del espacio vectorial F de todas las funciones de clase G → F.
• Las representaciones isomorfas tienen los mismos caracteres. Sobre un cuerpo de característica 0 , dos representaciones son isomorfas si y solo si tienen el mismo carácter. ^{[ 1 ]}
• Si una representación es la suma directa de subrepresentaciones , entonces el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de esas subrepresentaciones.
• Si un carácter del grupo finito G está restringido a un subgrupo H , entonces el resultado también es un carácter de H.
• Cada valor de carácter χ ( g ) es una suma de n raíces m - ésimas de la unidad , donde n es el grado (es decir, la dimensión del espacio vectorial asociado) de la representación con el carácter χ y m es el orden de g . En particular, cuando F = C , cada uno de esos valores de carácter es un entero algebraico .
• Si F = C y χ es irreducible, entonces es un entero algebraico para todo x en G.$${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$
• Si F es algebraicamente cerrado y char ( F ) no divide el orden de G , entonces el número de caracteres irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación de G. Además, en este caso, los grados de los caracteres irreducibles son divisores del orden de G (e incluso dividen [ G  : Z ( G )] si F = C ).

Sean ρ y σ representaciones de G. Entonces se cumplen las siguientes identidades:

• ${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

donde ρ ⊕ σ es la suma directa , ρ ⊗ σ es el producto tensorial , ρ ^∗ denota la transpuesta conjugada de ρ , y Alt ² es el producto alternado Alt ² ρ = ρ ∧ ρ y Sym ² es el cuadrado simétrico , que está determinado por $${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .}$$

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo G de forma compacta. Cada fila está etiquetada por una representación irreducible y las entradas de la fila son los caracteres de la representación en la clase de conjugación respectiva de G. Las columnas están etiquetadas por (representantes de) las clases de conjugación de G. Es habitual etiquetar la primera fila con el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G sobre un espacio vectorial unidimensional por para todo . Por lo tanto, cada entrada de la primera fila es 1. De manera similar, es habitual etiquetar la primera columna con la identidad. Por lo tanto, la primera columna contiene el grado de cada carácter irreducible. ${\displaystyle \rho (g)=1}$${\displaystyle g\in G}$

Aquí está la tabla de caracteres de

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle,}$

el grupo cíclico con tres elementos y generador u :

donde ω es una raíz terciaria primitiva de la unidad.

La tabla de caracteres siempre es cuadrada, porque el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación. ^{[ 2 ]}

El espacio de funciones de clase con valores complejos de un grupo finito G tiene un producto interno natural :

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :={\frac {1}{{\mathopen {\vert }}G{\mathclose {\vert }}}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

donde β ( g ) es el conjugado complejo de β ( g ) . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres:

${\displaystyle \langle \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ si }}i\neq j,\\1&{\mbox{ si }}i=j.\end{cases}}}$

Para g y h en G , al aplicar el mismo producto interno a las columnas de la tabla de caracteres se obtiene:

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}{\mathopen {\vert }}C_{G}(g){\mathclose {\vert }},&{\mbox{ si }}g,h{\mbox{ son conjugados }}\\0&{\mbox{ en caso contrario.}}\end{cases}}}$

donde la suma se realiza sobre todos los caracteres irreducibles χ _i de G y el símbolo | C _G ( g )| denota el orden del centralizador de g . Nótese que, dado que g y h son conjugados si y solo si están en la misma columna de la tabla de caracteres, esto implica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales.

Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar en muchos cálculos, entre ellos:

• Descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreducibles.
• Construir la tabla completa de caracteres cuando solo se conocen algunos de los caracteres irreducibles.
• Determinar el orden de los centralizadores de los representantes de las clases de conjugación de un grupo.
• Encontrar el orden del grupo.

Ciertas propiedades del grupo G pueden deducirse de su tabla de caracteres:

• El orden de G viene dado por la suma de los cuadrados de los elementos de la primera columna (los grados de los caracteres irreducibles). De forma más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de los elementos de cualquier columna da el orden del centralizador de un elemento de la clase de conjugación correspondiente.
• Todos los subgrupos normales de G (y por lo tanto, si G es simple o no) pueden reconocerse a partir de su tabla de caracteres. El núcleo de un carácter χ es el conjunto de elementos g en G para los cuales χ ( g ) = χ (1) ; este es un subgrupo normal de G . Cada subgrupo normal de G es la intersección de los núcleos de algunos de los caracteres irreducibles de G .
• The commutator subgroup of G is the intersection of the kernels of the linear characters of G.
• If G is finite, then since the character table is square and has as many rows as conjugacy classes, it follows that G is abelian iff each conjugacy class is a singleton iff the character table of G is ${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$ iff each irreducible character is linear.
• It follows, using some results of Richard Brauer from modular representation theory, that the prime divisors of the orders of the elements of each conjugacy class of a finite group can be deduced from its character table (an observation of Graham Higman).

The character table does not in general determine the group up toisomorphism: for example, the quaternion groupQ and the dihedral group of 8 elements, D₄, have the same character table. Brauer asked whether the character table, together with the knowledge of how the powers of elements of its conjugacy classes are distributed, determines a finite group up to isomorphism. In 1964, this was answered in the negative by E. C. Dade.

The linear representations of G are themselves a group under the tensor product, since the tensor product of 1-dimensional vector spaces is again 1-dimensional. That is, if ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$ and ${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$ are linear representations, then ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$ defines a new linear representation. This gives rise to a group of linear characters, called the character group under the operation ${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$. This group is connected to Dirichlet characters and Fourier analysis.

Se supone que los caracteres que se discuten en esta sección son de valor complejo. Sea H un subgrupo del grupo finito G. Dado un carácter χ de G , sea χ _H su restricción a H. Sea θ un carácter de H. Ferdinand Georg Frobenius mostró cómo construir un carácter de G a partir de θ , utilizando lo que ahora se conoce como reciprocidad de Frobenius . Dado que los caracteres irreducibles de G forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de valor complejo de G , existe una única función de clase θ ^G de G con la propiedad de que

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

para cada carácter irreducible χ de G (el producto interno más a la izquierda corresponde a las funciones de clase de G y el producto interno más a la derecha a las funciones de clase de H ). Dado que la restricción de un carácter de G al subgrupo H es nuevamente un carácter de H , esta definición deja claro que θ ^G es una combinación entera no negativa de caracteres irreducibles de G , por lo que es efectivamente un carácter de G. Se le conoce como el carácter de G inducido por θ . La fórmula definitoria de la reciprocidad de Frobenius puede extenderse a funciones de clase con valores complejos generales.

Dada una representación matricial ρ de H , Frobenius posteriormente proporcionó una forma explícita de construir una representación matricial de G , conocida como la representación inducida a partir de ρ , y escrita análogamente como ρ ^G. Esto condujo a una descripción alternativa del carácter inducido θ ^G. Este carácter inducido se anula en todos los elementos de G que no son conjugados a ningún elemento de H. Dado que el carácter inducido es una función de clase de G , ahora solo es necesario describir sus valores en los elementos de H. Si se escribe G como una unión disjunta de clases laterales derechas de H , por ejemplo

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

Entonces, dado un elemento h de H , tenemos:

${\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}$

Dado que θ es una función de clase de H , este valor no depende de la elección particular de los representantes de las clases laterales.

Esta descripción alternativa del carácter inducido a veces permite el cálculo explícito a partir de información relativamente escasa sobre la incrustación de H en G , y suele ser útil para el cálculo de tablas de caracteres particulares. Cuando θ es el carácter trivial de H , el carácter inducido obtenido se conoce como el carácter de permutación de G (en las clases laterales de H ).

La técnica general de inducción de caracteres y sus posteriores refinamientos encontraron numerosas aplicaciones en la teoría de grupos finitos y en otros ámbitos de las matemáticas, en manos de matemáticos como Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit y Michio Suzuki , así como del propio Frobenius.

La descomposición de Mackey fue definida y explorada por George Mackey en el contexto de los grupos de Lie , pero es una herramienta poderosa en la teoría de caracteres y la teoría de representaciones de grupos finitos. Su forma básica se refiere a cómo se comporta un carácter (o módulo) inducido a partir de un subgrupo H de un grupo finito G al restringirlo a un subgrupo K (posiblemente diferente) de G , y utiliza la descomposición de G en clases laterales dobles ( H , K ) .

Si es una unión disjunta y θ es una función de clase compleja de H , entonces la fórmula de Mackey establece que ${\textstyle G=\bigcup _ {t\in T}HtK}$

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

donde θ ^t es la función de clase de t ⁻¹ Ht definida por θ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h ) para todo h en H . Existe una fórmula similar para la restricción de un módulo inducido a un subgrupo, que es válida para representaciones sobre cualquier anillo y tiene aplicaciones en una amplia variedad de contextos algebraicos y topológicos .

La descomposición de Mackey, junto con la reciprocidad de Frobenius, produce una fórmula bien conocida y útil para el producto interno de dos funciones de clase θ y ψ inducidas por los subgrupos respectivos H y K , cuya utilidad radica en que solo depende de cómo se intersecan los conjugados de H y K. La fórmula (con su derivación) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

(donde T es un conjunto completo de representantes de clases laterales dobles ( H , K ) , como antes). Esta fórmula se usa a menudo cuando θ y ψ son caracteres lineales, en cuyo caso todos los productos internos que aparecen en la suma del lado derecho son 1 o 0 , dependiendo de si los caracteres lineales θt ^y ψ tienen o no la misma restricción a t ⁻¹ Ht ∩ K. Si θ y ψ son ambos caracteres triviales, entonces el producto interno se simplifica a | T | .

Se puede interpretar el carácter de una representación como la dimensión "retorcida" de un espacio vectorial . ^{[ 3 ]} Al tratar el carácter como una función de los elementos del grupo χ ( g ) , su valor en la identidad es la dimensión del espacio, ya que χ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( I _V ) = dim( V ) . En consecuencia, se pueden ver los demás valores del carácter como dimensiones "retorcidas".

Se pueden encontrar analogías o generalizaciones de enunciados sobre dimensiones a enunciados sobre caracteres o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto se da en la teoría del aguardiente monstruoso : el invariante j es la dimensión graduada de una representación graduada de dimensión infinita del grupo Monstruo , y al reemplazar la dimensión por el carácter se obtiene la serie de McKay-Thompson para cada elemento del grupo Monstruo. ^{[ 3 ]}

Si es un grupo de Lie y una representación de dimensión finita de , el carácter de se define precisamente como para cualquier grupo como ${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$.

Mientras tanto, si es un álgebra de Lie y una representación de dimensión finita de , podemos definir el carácter por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$.

El carácter satisfará para todos en el grupo de Lie asociado y para todos . Si tenemos una representación de grupo de Lie y una representación de álgebra de Lie asociada, el carácter de la representación de álgebra de Lie está relacionado con el carácter de la representación de grupo mediante la fórmula ${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$.

Suppose now that ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a complex semisimple Lie algebra with Cartan subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. The value of the character ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ of an irreducible representation ${\displaystyle \rho }$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is determined by its values on ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. The restriction of the character to ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ can easily be computed in terms of the weight spaces, as follows:

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$,

where the sum is over all weights${\displaystyle \lambda }$ of ${\displaystyle \rho }$ and where ${\displaystyle m_{\lambda }}$ is the multiplicity of ${\displaystyle \lambda }$.^[4]

The (restriction to ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ of the) character can be computed more explicitly by the Weyl character formula.

• Irreducible representation § Applications in theoretical physics and chemistry
• Association schemes, a combinatorial generalization of group-character theory.
• Clifford theory, introduced by A. H. Clifford in 1937, yields information about the restriction of a complex irreducible character of a finite group G to a normal subgroup N.
• Frobenius formula
• Real element, a group element g such that χ(g) is a real number for all characters χ

• Personaje en PlanetMath .