Álgebra conmutativa combinatoria

El álgebra conmutativa combinatoria es una disciplina matemática relativamente nueva y en rápido desarrollo . Como su nombre indica, se sitúa en la intersección de dos campos más consolidados: el álgebra conmutativa y la combinatoria , y con frecuencia utiliza métodos de uno para abordar problemas que surgen en el otro. De forma menos evidente, la geometría poliédrica desempeña un papel importante.

Uno de los hitos en el desarrollo de este tema fue la demostración de Richard Stanley en 1975 de la Conjetura del Límite Superior para esferas simpliciales , basada en trabajos previos de Melvin Hochster y Gerald Reisner. Si bien el problema puede formularse puramente en términos geométricos, los métodos de la demostración recurrieron a técnicas de álgebra conmutativa.

Un teorema fundamental en álgebra conmutativa combinatoria es la caracterización de los h -vectores de politopos simpliciales, conjeturada en 1970 por Peter McMullen . Conocido como el g -teorema , fue demostrado en 1979 por Stanley ( necesidad de las condiciones, argumento algebraico) y por Louis Billera y Carl W. Lee ( suficiencia , construcción combinatoria y geométrica). Una cuestión abierta importante era la extensión de esta caracterización de politopos simpliciales a esferas simpliciales, la g -conjetura , que fue resuelta en 2018 por Karim Adiprasito .

• Ideal monomial libre de cuadrados en un anillo de polinomios y anillo de Stanley-Reisner de un complejo simplicial .
• Anillos de Cohen-Macaulay .
• Anillo monomial , estrechamente relacionado con un anillo de semigrupo afín y con el anillo coordinado de una variedad tórica afín .
• Álgebra con una ley de enderezamiento . Existen varias versiones de estas, incluidas las álgebras de Hodge de Corrado de Concini , David Eisenbud y Claudio Procesi .

• Combinatoria algebraica
• Combinatoria poliédrica
• Gráfico del divisor de cero

Un artículo fundamental sobre los complejos de Stanley-Reisner escrito por uno de los pioneros de la teoría:

• Hochster, Melvin (1977). «Anillos de Cohen-Macaulay, combinatoria y complejos simpliciales» . Teoría de Anillos II: Actas de la Segunda Conferencia de Oklahoma . Notas de clase en Matemáticas Puras y Aplicadas. Vol.  26. Dekker. págs. 171-223 . ISBN  0-8247-6575-3. OCLC 610144046 . Zbl 0351.13009 .  

El primer libro es un clásico (primera edición publicada en 1983):

• Stanley, Richard (1996). Combinatoria y álgebra conmutativa . Progress in Mathematics. Vol.  41 (2.ª  ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-3836-9. Zbl 0838.13008 . 

Libro de texto-monografía muy influyente y bien escrito:

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Anillos de Cohen-Macaulay . Vol.  39. Cambridge Studies in Advanced Mathematics: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41068-1. OCLC 802912314 . Zbl 0788.13005 .  

Lectura adicional:

• Villarreal, Rafael H. (2001). Álgebras monomiales . Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas. Vol.  238. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0524-6. Zbl 1002.13010 . 
• Hibi, Takayuki (1992). Combinatoria algebraica en politopos convexos . Glebe, Australia: Carslaw Publications. ISBN 1875399046OCLC 29023080 .​ 
• Sturmfels, Bernd (1996). Bases de Gröbner y politopos convexos . Serie de conferencias universitarias. Vol.  8. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-0487-1. OCLC 907364245 . Zbl 0856.13020 .  
• Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009). Politopos, anillos y teoría K. Monografías de Springer en matemáticas. Springer. doi : 10.1007/b105283 . ISBN 978-0-387-76355-2. Zbl 1168.13001 . 

Una reciente incorporación a la creciente bibliografía en este campo, contiene una exposición de temas de investigación actuales:

• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol.  227. Saltador. ISBN 0-387-22356-8. Zbl 1066.13001 . 
• Herzog, Jürgen; Hibi, Takayuki (2011). Ideales monomios . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol.  260. Saltador. ISBN 978-0-85729-106-6. Zbl 1206.13001 . 
• Herzog, Jürgen; Hibi, Takayuki; Oshugi, Hidefumi (2018). Ideales binomiales . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol.  279. Saltador. ISBN 978-3-319-95349-6. Zbl 1403.13004 .