vector h

En combinatoria algebraica , el h -vector de un politopo simplicial es un invariante fundamental del politopo que codifica el número de caras de diferentes dimensiones y permite expresar las ecuaciones de Dehn-Sommerville de una forma particularmente simple. Peter McMullen ^{[ 1 ]} conjeturó una caracterización del conjunto de h -vectores de politopos simpliciales, y Lou Billera y Carl W. Lee ^{[ 2 ] [ 3 ]} y Richard Stanley ^{[ 4 ]} la demostraron ( teorema g ). La definición de h -vector se aplica a complejos simpliciales abstractos arbitrarios . La conjetura g afirmaba que, para esferas simpliciales , todos los posibles h- vectores ya se encuentran entre los h -vectores de los límites de politopos simpliciales convexos. Karim Adiprasito la demostró en diciembre de 2018. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Stanley introdujo una generalización del vector h , el vector h tórico , que se define para un poset ordenado arbitrario , y demostró que para la clase de posets eulerianos , las ecuaciones de Dehn-Sommerville siguen siendo válidas. Una generalización diferente, más combinatoria, del vector h que ha sido ampliamente estudiada es el vector h de banderas de un poset ordenado. Para posets eulerianos, se puede expresar de forma más concisa mediante un polinomio no conmutativo en dos variables llamado índice cd .

Sea Δ un complejo simplicial abstracto de dimensión d − 1 con caras i- dimensionales f _i y f ₋₁ = 1. Estos números están dispuestos en el vector f de Δ,

${\displaystyle f(\Delta )=(f_{-1},f_{0},\ldots ,f_{d-1}).}$

Un caso especial importante se da cuando Δ es el límite de un politopo convexo de dimensión d .

Para k = 0, 1, …, d , sea

${\displaystyle h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{ki}{\binom {di}{ki}}f_{i-1}.}$

La tupla

${\displaystyle h(\Delta )=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})}$

se denomina vector h de Δ. En particular,${\displaystyle h_{0}=1}$,${\displaystyle h_{1}=f_{0}-d}$, y${\displaystyle h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta ))}$, dónde${\displaystyle \chi (\Delta )}$es la característica de Euler de${\displaystyle \Delta }$El vector f y el vector h se determinan mutuamente de forma única mediante la relación lineal .

${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k},}$

de lo cual se sigue que, para${\displaystyle i=0,\dotsc ,d}$,

${\displaystyle f_{i-1}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {d-k}{i-k}}h_{k}.}$

En particular,${\displaystyle f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}}$Sea R = k [Δ] el anillo de Stanley-Reisner de Δ. Entonces su serie de Hilbert-Poincaré se puede expresar como

${\displaystyle P_{R}(t)=\sum _{i=0}^{d}{\frac {f_{i-1}t^{i}}{(1-t)^{i}}}={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.}$

Esto motiva la definición del h -vector de un álgebra graduada positivamente generada finitamente de dimensión Krull d como el numerador de su serie de Hilbert-Poincaré escrita con el denominador (1 − t ) ^d .  

El vector h está estrechamente relacionado con el vector h ^* para un politopo reticular convexo, véase el polinomio de Ehrhart .

El${\displaystyle \textstyle h}$-vector${\displaystyle (h_{0},h_{1},\dotsc ,h_{d})}$se puede calcular a partir de la${\displaystyle \textstyle f}$-vector${\displaystyle (f_{-1},f_{0},\dotsc ,f_{d-1})}$mediante el uso de la relación de recurrencia

${\displaystyle h_{0}^{i}=1,\qquad -1\leq i\leq d}$

${\displaystyle h_{i+1}^{i}=f_{i},\qquad -1\leq i\leq d-1}$

${\displaystyle h_{k}^{i}=h_{k}^{i-1}-h_{k-1}^{i-1},\qquad 1\leq k\leq i\leq d}$.

y finalmente estableciendo${\displaystyle \textstyle h_{k}=h_{k}^{d}}$para${\displaystyle \textstyle 0\leq k\leq d}$Para ejemplos pequeños, se puede utilizar este método para calcular${\displaystyle \textstyle h}$-vectores rápidamente a mano llenando recursivamente las entradas de una matriz similar al triángulo de Pascal . Por ejemplo, considérese el complejo frontera.${\displaystyle \textstyle \Delta }$de un octaedro . El${\displaystyle \textstyle f}$-vector de${\displaystyle \textstyle \Delta }$es${\displaystyle \textstyle (1,6,12,8)}$. Para calcular el${\displaystyle \textstyle h}$-vector de${\displaystyle \Delta }$, construir una matriz triangular escribiendo primero${\displaystyle d+2}$${\displaystyle \textstyle 1}$s por el borde izquierdo y el${\displaystyle \textstyle f}$-vector hacia abajo por el borde derecho.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&&&12&\\&1&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\end{matrix}}}$

(Establecimos${\displaystyle f_{d}=0}$(Solo para que la matriz sea triangular). Luego, comenzando desde arriba, completa cada entrada restante restando su vecino superior izquierdo de su vecino superior derecho. De esta manera, generamos la siguiente matriz:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\1&&3&&3&&1&&0\end{matrix}}}$

Las entradas de la fila inferior (aparte de la final)${\displaystyle 0}$) son las entradas de la${\displaystyle \textstyle h}$-vector. Por lo tanto, el${\displaystyle \textstyle h}$-vector de${\displaystyle \textstyle \Delta }$es${\displaystyle \textstyle (1,3,3,1)}$.

A un poset graduado arbitrario P , Stanley le asoció un par de polinomios f ( P , x ) y g ( P , x ). Su definición es recursiva en términos de los polinomios asociados a los intervalos [0, y ] para todo y ∈ P , y ≠ 1, vistos como posets ordenados de menor rango (0 y 1 denotan los elementos mínimo y máximo de P ). Los coeficientes de f ( P , x ) forman el h- vector tórico de P . Cuando P es un poset euleriano de rango d + 1 tal que P − 1 es simplicial, el h- vector tórico coincide con el h -vector ordinario construido usando los números f _i de elementos de P − 1 de rango dado i + 1. En este caso, el h- vector tórico de P satisface las ecuaciones de Dehn–Sommerville.

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}.}$

La razón del adjetivo "tórico" es una conexión del h -vector tórico con la cohomología de intersección de una cierta variedad tórica proyectiva X cuando P es el complejo frontera de un politopo convexo racional. Es decir, las componentes son las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección pares de X :

${\displaystyle h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )}$

(los grupos de cohomología de intersección impares de X son todos cero). Las ecuaciones de Dehn-Sommerville son una manifestación de la dualidad de Poincaré en la cohomología de intersección de X. Kalle Karu demostró que el h -vector tórico de un politopo es unimodal, independientemente de si el politopo es racional o no. ^{[ 7 ]}

Se ha estudiado ampliamente una generalización diferente de las nociones de f- vector y h -vector de un politopo convexo.${\displaystyle P}$sea ​​un poset graduado finito de rango n , de modo que cada cadena máxima en${\displaystyle P}$tiene longitud n . Para cualquier${\displaystyle S}$, un subconjunto de${\displaystyle \left\{0,\ldots ,n\right\}}$, dejar${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$denota el número de cadenas en${\displaystyle P}$cuyos rangos constituyen el conjunto${\displaystyle S}$. Más formalmente, dejemos

${\displaystyle rk:P\to \{0,1,\ldots ,n\}}$

sea ​​la función de rango de${\displaystyle P}$y dejar${\displaystyle P_{S}}$ser el${\displaystyle S}$-rank subposet seleccionado , que consta de los elementos de${\displaystyle P}$cuyo rango está en${\displaystyle S}$:

${\displaystyle P_{S}=\{x\in P:rk(x)\in S\}.}$

Entonces${\displaystyle \alpha _{P}(S)}$es el número de las cadenas máximas en${\displaystyle P_{S}}$y la función

${\displaystyle S\mapsto \alpha _{P}(S)}$

se denomina f- vector de bandera de P. La función

${\displaystyle S\mapsto \beta _{P}(S),\quad \beta _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\alpha _{P}(S)}$

se denomina vector h de banderas${\displaystyle P}$. Por el principio de inclusión-exclusión ,

${\displaystyle \alpha _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}\beta _{P}(T).}$

Los vectores f y h de la bandera${\displaystyle P}$refinar los vectores f y h ordinarios de su complejo de orden${\displaystyle \Delta (P)}$: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle f_{i-1}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\alpha _{P}(S),\quad h_{i}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\beta _{P}(S).}$

El vector h de la bandera${\displaystyle P}$se puede representar mediante un polinomio en variables no conmutativas a y b . Para cualquier subconjunto${\displaystyle S}$de {1,…, n }, defina el monomio correspondiente en a y b ,

${\displaystyle u_{S}=u_{1}\cdots u_{n},\quad u_{i}=a{\text{ for }}i\notin S,u_{i}=b{\text{ for }}i\in S.}$

Entonces, la función generadora no conmutativa para el vector h de banderas de P se define por

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\sum _{S}\beta _{P}(S)u_{S}.}$

A partir de la relación entre α _P ( S ) y β _P ( S ), la función generadora no conmutativa para el f -vector de banderas de P es

${\displaystyle \Psi _{P}(a,a+b)=\sum _{S}\alpha _{P}(S)u_{S}.}$

Margaret Bayer y Louis Billera determinaron las relaciones lineales más generales que se cumplen entre los componentes del vector h de ^banderas de un poset euleriano P. [ ^{9 ]}

Fine señaló una forma elegante de enunciar estas relaciones: existe un polinomio no conmutativo Φ _P ( c , d ), llamado índice cd de P , tal que

${\displaystyle \Psi _{P}(a,b)=\Phi _{P}(a+b,ab+ba).}$

Stanley demostró que todos los coeficientes del índice cd del complejo frontera de un politopo convexo son no negativos. Conjeturó que este fenómeno de positividad persiste para una clase más general de conjuntos parcialmente ordenados eulerianos que Stanley denomina complejos de Gorenstein* y que incluye esferas simpliciales y abanicos completos. Esta conjetura fue demostrada por Kalle Karu . ^{[ 10 ]} El significado combinatorio de estos coeficientes no negativos (una respuesta a la pregunta "¿qué representan?") sigue sin estar claro.

• Stanley, Richard (1996), Combinatoria y álgebra conmutativa , Progress in Mathematics, vol.  41 (2.ª  ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3836-9.
• Stanley, Richard (1997), Combinatoria enumerativa , vol.  1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1.