Topología Poset

En matemáticas , la topología poset asociada a un poset ( S , ≤) es la topología de Alexandrov (los conjuntos abiertos son conjuntos superiores ) sobre el poset de cadenas finitas de ( S , ≤), ordenadas por inclusión.

Sea V un conjunto de vértices. Un complejo simplicial abstracto Δ es un conjunto de conjuntos finitos de vértices, conocidos como caras , tales que ${\displaystyle \sigma \subseteq V}$

${\displaystyle \paratodos \rho \,\paratodos \sigma \!:\ \rho \subseteq \sigma \en \Delta \Rightarrow \rho \en \Delta .}$

Dado un complejo simplicial Δ como el anterior, definimos una topología (conjunto de puntos) en Δ declarando que un subconjunto es cerrado si y solo si Γ es un complejo simplicial, es decir ${\displaystyle \Gamma \subseteq \Delta }$

${\displaystyle \paratodos \rho \,\paratodos \sigma \!:\ \rho \subseteq \sigma \en \Gamma \Rightarrow \rho \en \Gamma .}$

Esta es la topología de Alexandrov en el conjunto de caras de Δ.

El complejo de orden asociado a un poset ( S , ≤) tiene como vértices el conjunto S y como caras las cadenas finitas de ( S , ≤). La topología de poset asociada a un poset ( S , ≤) es entonces la topología de Alexandrov sobre el complejo de orden asociado a ( S , ≤).

• Combinatoria topológica

• Topología Poset: herramientas y aplicaciones Michelle L. Wachs , notas de clase, Escuela de verano para graduados de IAS/Park City sobre combinatoria geométrica (julio de 2004)