Álgebra de Hopf de grupo

En matemáticas , el álgebra de Hopf de un grupo dado es una construcción específica relacionada con las simetrías de las acciones de grupo . Las deformaciones de las álgebras de Hopf de grupos son fundamentales en la teoría de grupos cuánticos .

Sea G un grupo y k un cuerpo . El álgebra de Hopf de grupo de G sobre k , denotada kG (o k [ G ]), es como conjunto (y espacio vectorial ) el espacio vectorial libre en G sobre k . Como álgebra , su producto se define por extensión lineal de la composición de grupo en G , con unidad multiplicativa la identidad en G ; este producto también se conoce como convolución .

Nótese que, si bien el álgebra de grupo de un grupo finito puede identificarse con el espacio de funciones sobre el grupo, para un grupo infinito estos son diferentes. El álgebra de grupo, que consiste en sumas finitas , corresponde a funciones sobre el grupo que se anulan para un número cofinito de puntos; topológicamente (usando la topología discreta ), estas son las funciones con soporte compacto .

Sin embargo, el álgebra de grupo${\displaystyle k[G]}$y${\displaystyle k^{G}}$– el álgebra conmutativa de funciones de G en k – son duales: dado un elemento del álgebra de grupo${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$y una función en el grupo${\displaystyle f\colon G\to k,}$estos pares para dar un elemento k a través de${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$que es una suma bien definida porque es finita.

Le damos a kG la estructura de un álgebra de Hopf cocommutativa definiendo el coproducto, la counidad y el antípoda como extensiones lineales de los siguientes mapas definidos en G : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Delta (x)=x\otimes x;}$

${\displaystyle \epsilon (x)=1_{k};}$

${\displaystyle S(x)=x^{-1}.}$

Los axiomas de compatibilidad del álgebra de Hopf requeridos se comprueban fácilmente. Nótese que${\displaystyle {\mathcal {G}}(kG)}$, el conjunto de elementos de tipo grupo de kG (es decir, elementos${\displaystyle a\in kG}$de tal manera que${\displaystyle \Delta (a)=a\otimes a}$y${\displaystyle \epsilon (a)=1}$), es precisamente G.

Sea G un grupo y X un espacio topológico . Cualquier acción${\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X}$de G en X da un homomorfismo${\displaystyle \phi _{\alpha }\colon G\to \mathrm {Aut} (F(X))}$donde F ( X ) es un álgebra apropiada de funciones con valores en k , como el álgebra de Gelfand-Naimark.${\displaystyle C_{0}(X)}$de funciones continuas que se anulan en el infinito . El homomorfismo${\displaystyle \phi _{\alpha }}$se define por${\displaystyle \phi _{\alpha }(g)=\alpha _{g}^{*}}$, con el adjunto${\displaystyle \alpha _{g}^{*}}$definido por

${\displaystyle \alpha _{g}^{*}(f)x=f(\alpha (g,x))}$

para${\displaystyle g\in G,f\in F(X)}$, y${\displaystyle x\in X}$.

Esto puede describirse mediante una correspondencia lineal.

${\displaystyle \lambda \colon kG\otimes F(X)\to F(X)}$

${\displaystyle \lambda ((c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}+\cdots )\otimes f)(x)=c_{1}f(g_{1}\cdot x)+c_{2}f(g_{2}\cdot x)+\cdots }$

dónde${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots \in k}$,${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$son los elementos de G y${\displaystyle g_{i}\cdot x:=\alpha (g_{i},x)}$, que tiene la propiedad de que los elementos tipo grupo en${\displaystyle kG}$dan lugar a automorfismos de F ( X ).

${\displaystyle \lambda }$dota a F ( X ) de una importante estructura adicional, descrita a continuación.

Sea H un álgebra de Hopf. Un álgebra H-módulo (izquierda) de Hopf A es un álgebra que es un módulo (izquierda) sobre el álgebra H tal que${\displaystyle h\cdot 1_{A}=\epsilon (h)1_{A}}$y

${\displaystyle h\cdot (ab)=(h_{(1)}\cdot a)(h_{(2)}\cdot b)}$

cuando sea${\displaystyle a,b\in A}$,${\displaystyle h\in H}$y${\displaystyle \Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}}$en notación Sweedler sin suma . Cuando${\displaystyle \lambda }$Se ha definido como en la sección anterior, esto convierte F ( X ) en un álgebra de kG -módulo de Hopf izquierdo, lo que permite la siguiente construcción.

Sea H un álgebra de Hopf y A un álgebra de H -módulo de Hopf izquierda . El álgebra del producto smash${\displaystyle A\mathop {\#} H}$es el espacio vectorial${\displaystyle A\otimes H}$con el producto

${\displaystyle (a\otimes h)(b\otimes k):=a(h_{(1)}\cdot b)\otimes h_{(2)}k}$,

y escribimos${\displaystyle a\mathop {\#} h}$para${\displaystyle a\otimes h}$en este contexto. ^{[ 2 ]}

En nuestro caso,${\displaystyle A=F(X)}$y${\displaystyle H=kG}$y tenemos

${\displaystyle (a\mathop {\#} g_{1})(b\mathop {\#} g_{2})=a(g_{1}\cdot b)\mathop {\#} g_{1}g_{2}}$.

En este caso, el álgebra del producto smash${\displaystyle A\mathop {\#} kG}$también se denota por${\displaystyle A\mathop {\#} G}$.

Se ha calculado la homología cíclica de los productos de Hopf smash. ^{[ 3 ]} Sin embargo, allí el producto smash se denomina producto cruzado y se denota${\displaystyle A\rtimes H}$- no confundir con el producto cruzado derivado de${\displaystyle C^{*}}$-sistemas dinámicos. ^{[ 4 ]}