Categoría de anillos

La categoría Anillo es completa y cocompleta , lo que significa que todos los límites y colímites pequeños existen en Anillo . Al igual que muchas otras categorías algebraicas, el functor de olvido U  : Anillo → Conjunto crea (y conserva) límites y colímites filtrados , pero no conserva ni coproductos ni coecualizadores . Los functores de olvido a Ab y Mon también crean y conservan límites.

Ejemplos de límites y colímites en Ring incluyen:

• El anillo de enteros Z es un objeto inicial en Ring .
• El anillo cero es un objeto terminal en Ring .
• El producto en Ring viene dado por el producto directo de anillos . Este es simplemente el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, con la suma y la multiplicación definidas componente a componente.
• El coproducto de una familia de anillos existe y se da mediante una construcción análoga al producto libre de grupos. El coproducto de anillos no nulos puede ser el anillo nulo; en particular, esto sucede siempre que los factores tengan característica relativamente prima (ya que la característica del coproducto de ( R _i ) _{i ∈ I} debe dividir las características de cada uno de los anillos R _i ).
• El ecualizador en Ring es simplemente el ecualizador de la teoría de conjuntos (el ecualizador de dos homomorfismos de anillos es siempre un subanillo ).
• El coecualizador de dos homomorfismos de anillos f y g de R a S es el cociente de S por el ideal generado por todos los elementos de la forma f ( r ) − g ( r ) para r ∈ R .
• Dado un homomorfismo de anillos f  : R → S, el par núcleo de f (que es simplemente el retroceso de f consigo mismo) es una relación de congruencia en R. El ideal determinado por esta relación de congruencia es precisamente el núcleo (en teoría de anillos) de f . Cabe señalar que los núcleos en teoría de categorías no tienen sentido en Ring, ya que no existen morfismos cero (véase más adelante).

A diferencia de muchas categorías estudiadas en matemáticas, no siempre existen morfismos entre pares de objetos en Ring . Esto se debe a que los homomorfismos de anillos deben preservar la identidad. Por ejemplo, no existen morfismos del anillo cero 0 a ningún anillo no cero. Una condición necesaria para que existan morfismos de R a S es que la característica de S divida la de R.

Tenga en cuenta que, aunque algunos de los conjuntos de inicios estén vacíos, la categoría Anillo sigue estando conectada, ya que tiene un objeto inicial.

Algunas clases especiales de morfismos en Ring incluyen:

• Los isomorfismos en Ring son los homomorfismos biyectivos de anillos.
• En Ring, los monomorfismos son los homomorfismos inyectivos . Sin embargo, no todos los monomorfismos son regulares .
• Todo homomorfismo sobreyectivo es un epimorfismo en Ring , pero lo contrario no es cierto. La inclusión Z → Q es un epimorfismo no sobreyectivo. El homomorfismo natural de anillos de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo que no necesariamente es sobreyectivo.
• Los homomorfismos sobreyectivos pueden caracterizarse como epimorfismos regulares o extremales en Ring (estas dos clases coinciden).
• En Ring, los bimorfismos son epimorfismos inyectivos. La inclusión Z → Q es un ejemplo de bimorfismo que no es un isomorfismo.

• El único objeto inyectivo en Ring salvo isomorfismo es el anillo cero (es decir, el objeto terminal).
• Al carecer de morfismos cero , la categoría de anillos no puede ser una categoría preaditiva . (Sin embargo, todo anillo —considerado como una categoría con un solo objeto— es una categoría preaditiva).
• La categoría de anillos es una categoría monoidal simétrica con el producto tensorial de anillos ⊗ _Z como producto monoidal y el anillo de enteros Z como objeto unidad. Del teorema de Eckmann-Hilton se deduce que un monoide en Ring es un anillo conmutativo . La acción de un monoide (= anillo conmutativo) R sobre un objeto (= anillo) A de Ring es un R -álgebra .

La categoría de anillos conmutativos , denotada CRing , es la subcategoría completa de Ring cuyos objetos son todos anillos conmutativos . Esta categoría es uno de los objetos centrales de estudio en el campo del álgebra conmutativa .

Cualquier anillo puede hacerse conmutativo tomando el cociente por el ideal generado por todos los elementos de la forma ( xy − yx ). Esto define un functor Ring → CRing que es adjunto izquierdo al functor de inclusión, de modo que CRing es una subcategoría reflexiva de Ring . El anillo conmutativo libre sobre un conjunto de generadores E es el anillo de polinomios Z [ E ] cuyas variables se toman de E . Esto da un functor adjunto izquierdo al functor de olvido de CRing a Set .

CRing es cerrado bajo límites en Ring , lo que significa que los límites en CRing son los mismos que en Ring . Sin embargo, los colímites son generalmente diferentes. Se pueden formar tomando el cociente conmutativo de colímites en Ring . El coproducto de dos anillos conmutativos viene dado por el producto tensorial de anillos . De nuevo, el coproducto de dos anillos conmutativos no nulos puede ser cero.

La categoría opuesta de CRing es equivalente a la categoría de esquemas afines . La equivalencia viene dada por el functor contravariante Spec que envía un anillo conmutativo a su espectro , un esquema afín .

La categoría de cuerpos , denotada Campo , es la subcategoría completa de CRing cuyos objetos son cuerpos . La categoría de cuerpos no se comporta tan bien como otras categorías algebraicas. En particular, no existen cuerpos libres (es decir, no hay un adjunto izquierdo para el functor de olvido Campo → Conjunto ). De ello se deduce que Campo no es una subcategoría reflexiva de CRing .

La categoría de campos no es ni finitamente completa ni finitamente cocompleta. En particular, Campo no tiene ni productos ni coproductos.

Otro aspecto curioso de la categoría de cuerpos es que todo morfismo es un monomorfismo . Esto se deduce del hecho de que los únicos ideales en un cuerpo F son el ideal cero y F mismo. Por lo tanto, se pueden considerar los morfismos en Cuerpo como extensiones de cuerpos .

La categoría de cuerpos no es conexa . No hay morfismos entre cuerpos de diferente característica . Las componentes conexas de Campo son las subcategorías completas de característica p , donde p = 0 o es un número primo . Cada una de estas subcategorías tiene un objeto inicial : el cuerpo primo de característica p (que es Q si p = 0, de lo contrario el cuerpo finito F _p ).

Existe un functor natural de Ring a la categoría de grupos , Grp , que envía cada anillo R a su grupo de unidades U ( R ) y cada homomorfismo de anillos a la restricción a U ( R ). Este functor tiene un adjunto izquierdo que envía cada grupo G al anillo de grupos integrales Z [ G ].

Otro functor entre estas categorías envía cada anillo R al grupo de unidades del anillo matricial M ₂ ( R ) que actúa sobre la línea proyectiva sobre un anillo P( R ).

Dado un anillo conmutativo R, se puede definir la categoría R -Alg cuyos objetos son todos R -álgebras y cuyos morfismos son homomorfismos de R -álgebras .

La categoría de anillos puede considerarse un caso especial. Todo anillo puede considerarse un álgebra Z de una manera única. Los homomorfismos de anillos son precisamente los homomorfismos de álgebras Z. Por lo tanto, la categoría de anillos es isomorfa a la categoría Z-Alg . ^{[ 2 ]} Muchas afirmaciones sobre la categoría de anillos pueden generalizarse a afirmaciones sobre la categoría de álgebras R.

Para cada anillo conmutativo R hay un functor R -Alg → Ring que olvida la estructura de R -módulo. Este functor tiene un adjunto izquierdo que envía cada anillo A al producto tensorial R ⊗ _Z A , considerado como un R -álgebra al establecer r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

Muchos autores no exigen que los anillos tengan un elemento identidad multiplicativo y, por consiguiente, no exigen que el homomorfismo de anillos preserve la identidad (en caso de existir). Esto da lugar a una categoría bastante diferente. Para distinguirlas, llamamos a estas estructuras algebraicas rngs y a sus morfismos homomorfismos rng . La categoría de todos los rngs se denotará por Rng .

La categoría de anillos, Ring , es una subcategoría no completa de Rng . Es no completa porque existen homomorfismos rng entre anillos que no preservan la identidad y, por lo tanto, no son morfismos en Ring . El functor de inclusión Ring → Rng tiene un adjunto izquierdo que adjunta formalmente una identidad a cualquier rng. El functor de inclusión Ring → Rng respeta los límites, pero no los colímites.

El anillo cero sirve como objeto inicial y terminal en Rng (es decir, es un objeto cero ). De ello se deduce que Rng , al igual que Grp pero a diferencia de Ring , tiene morfismos cero . Estos son simplemente los homomorfismos rng que asignan todo a 0. A pesar de la existencia de morfismos cero, Rng no es una categoría preaditiva . La suma puntual de dos homomorfismos rng generalmente no es un homomorfismo rng.

Existe un functor totalmente fiel de la categoría de grupos abelianos a Rng que envía un grupo abeliano al rng asociado de cuadrado cero .

Las construcciones libres son menos naturales en Rng que en Ring . Por ejemplo, el rng libre generado por un conjunto { x } es el anillo de todos los polinomios enteros sobre x sin término constante, mientras que el anillo libre generado por { x } es simplemente el anillo de polinomios Z [ x ].