Anillo de grupo

En álgebra , un anillo de grupo es un módulo libre y, a la vez, un anillo , construido de forma natural a partir de cualquier anillo y grupo dados . Como módulo libre, su anillo de escalares es el anillo dado, y su base es el conjunto de elementos del grupo dado. Como anillo, su ley de suma es la del módulo libre y su multiplicación extiende linealmente la ley del grupo dado sobre la base. De forma menos formal, un anillo de grupo es una generalización de un grupo dado, al añadir a cada elemento del grupo un factor de ponderación de un anillo dado.

Si el anillo es conmutativo, el anillo de grupo también se denomina álgebra de grupo , ya que es, en efecto, un álgebra sobre el anillo dado. Un álgebra de grupo sobre un cuerpo tiene además la estructura de un álgebra de Hopf ; en este caso, se denomina álgebra de Hopf de grupo .

El aparato de anillos de grupo es especialmente útil en la teoría de las representaciones de grupo .

Definición

Dejar $G$ sea un grupo, escrito multiplicativamente, y deje que $R$ ser un anillo. El anillo del grupo de $G$ encima $R$ , que denotaremos por $R[G]$ o simplemente $RG$ , es el conjunto de asignaciones $f\colon G\to R$ de soporte finito ( $f(g)$ es distinto de cero solo para un número finito de elementos. $g$ ), donde el módulo es el producto escalar $\alpha f$ de un escalar $\alpha$ en $R$ y un mapeo $f$ se define como el mapeo $x\mapsto \alpha \cdot f(x)$ y la suma del grupo de módulos de dos asignaciones $f$ y $g$ se define como el mapeo $x\mapsto f(x)+g(x)$ Para girar el grupo aditivo $R[G]$ en un anillo, definimos el producto de $f$ y $g$ ser el mapeo

x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).

La suma es legítima porque $f$ y $g$ tienen soporte finito y los axiomas del anillo se verifican fácilmente.

Se utilizan algunas variaciones en la notación y la terminología. En particular, las asignaciones como $f:G\to R$ a veces ^{[ 1 ]} se escriben como lo que se denomina "combinaciones lineales formales de elementos de $G$ con coeficientes en $R$ ":

\sum _{g\in G}f(g)g,

o simplemente

\sum _{g\in G}f_{g}g.

^{[ 2 ]}

Tenga en cuenta que si el anillo $R$ es de hecho un campo, entonces la estructura del módulo del anillo del grupo $RG$ es de hecho un espacio vectorial sobre $R$ .

Ejemplos

1. Sea G = C ₃ , el grupo cíclico de orden 3, con generador $a$ y el elemento identidad 1 _G. Un elemento r de C [ G ] se puede escribir como

r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,

donde z ₀ , z ₁ y z ₂ están en C , los números complejos . Esto es lo mismo que un anillo de polinomios en variable $a$ de tal manera que $a^{3}=a^{0}=1$ es decir, C [ G ] es isomorfo al anillo C [ $a$ ]/ $(a^{3}-1)$

Escribiendo un elemento diferente s como $s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$ , su suma es

r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,

y su producto es

rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.

Nótese que el elemento identidad 1 _G de G induce una incrustación canónica del anillo de coeficientes (en este caso C ) en C [ G ]; sin embargo, estrictamente hablando, el elemento identidad multiplicativo de C [ G ] es 1⋅1 _G donde el primer 1 proviene de C y el segundo de G . El elemento identidad aditivo es cero.

Cuando G es un grupo no conmutativo, hay que tener cuidado de preservar el orden de los elementos del grupo (y no conmutarlos accidentalmente) al multiplicar los términos.

2. El anillo de polinomios de Laurent sobre un anillo R es el anillo de grupo del grupo cíclico infinito Z sobre R.

3. Sea Q el grupo de cuaterniones con elementos $\{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}$ Consideremos el anillo de grupo R Q , donde R es el conjunto de los números reales. Un elemento arbitrario de este anillo de grupo tiene la forma

x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}

dónde $x_{i}$ es un número real.

La multiplicación, como en cualquier otro anillo de grupo, se define en función de la operación de grupo. Por ejemplo,

{\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.

Nótese que R Q no es lo mismo que el cuerpo sesgado de cuaterniones sobre R. Esto se debe a que el cuerpo sesgado de cuaterniones satisface relaciones adicionales en el anillo, como $-1\cdot i=-i$ , mientras que en el grupo anillo R Q , $-1\cdot i$ no es igual a $1\cdot {\bar {i}}$ . Para ser más específicos, el anillo de grupo R Q tiene dimensión 8 como espacio vectorial real , mientras que el campo sesgado de cuaterniones tiene dimensión 4 como espacio vectorial real .

4. Otro ejemplo de un anillo de grupo no abeliano es $\mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]$ dónde $\mathbb {S} _{3}$ es el grupo simétrico de 3 letras. Este no es un dominio de integridad ya que tenemos $[1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0$ donde el elemento $(12)\in \mathbb {S} _{3}$ es la transposición que intercambia 1 y 2. Por lo tanto, el anillo del grupo no tiene por qué ser un dominio de integridad incluso cuando el anillo subyacente es un dominio de integridad.

Algunas propiedades básicas

Usando 1 para denotar la identidad multiplicativa del anillo R , y denotando la unidad del grupo por 1 _G , el anillo R [ G ] contiene un subanillo isomorfo a R , y su grupo de elementos invertibles contiene un subgrupo isomorfo a G. Para considerar la función indicadora de {1 _G }, que es el vector f definido por

f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},

El conjunto de todos los múltiplos escalares de f es un subanillo de R [ G ] isomorfo a R. Y si asignamos a cada elemento s de G la función indicadora de { s }, que es el vector f definido por

f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}

El mapeo resultante es un homomorfismo de grupo inyectivo (con respecto a la multiplicación, no a la suma, en R [ G ]).

Si R y G son ambos conmutativos (es decir, R es conmutativo y G es un grupo abeliano ), R [ G ] es conmutativo.

Si H es un subgrupo de G , entonces R [ H ] es un subanillo de R [ G ]. De manera similar, si S es un subanillo de R , S [ G ] es un subanillo de R [ G ].

Si G es un grupo finito de orden mayor que 1, entonces R [ G ] siempre tiene divisores de cero . Por ejemplo, consideremos un elemento g de G de orden $| g | = m > 1.$ Entonces 1 − g es un divisor de cero: $(1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.$

Por ejemplo, consideremos el anillo de grupo Z [ S ₃ ] y el elemento de orden 3 g = (123). En este caso, $(1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.$ Un resultado relacionado: Si el anillo del grupo $K[G]$ Si G es primo , entonces G no tiene ningún subgrupo normal finito distinto de la identidad (en particular, G debe ser infinito).

Demostración: Considerando la contrapositiva , supongamos que $H$ es un subgrupo normal finito no identidad de $G$ . Llevar $a=\sum _{h\in H}h$ . Desde $hH=H$ para cualquier $h\in H$ , lo sabemos $ha=a$ , por lo tanto $a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a$ . Tomando $b=|H|\,1-a$ , tenemos $ab=0$ Por normalidad de $H$ , $a$ se desplaza con base en $K[G]$ y por lo tanto

aK[G]b=K[G]ab=0

.

Y vemos que $a,b$ no son cero, lo que demuestra $K[G]$ no es primo. Esto muestra la declaración original.

Álgebra de grupo sobre un grupo finito

Las álgebras de grupo aparecen de forma natural en la teoría de las representaciones de grupo de grupos finitos . El álgebra de grupo K [ G ] sobre un cuerpo K es esencialmente el anillo de grupo, con el cuerpo K ocupando el lugar del anillo. Como conjunto y espacio vectorial, es el espacio vectorial libre en G sobre el cuerpo K. Es decir, para x en K [ G ],

x=\sum _{g\in G}a_{g}g.

La estructura algebraica en el espacio vectorial se define mediante la multiplicación en el grupo:

g\cdot h=gh,

donde a la izquierda, g y h indican elementos del álgebra de grupo, mientras que la multiplicación a la derecha es la operación de grupo (denotada por yuxtaposición).

Debido a que la multiplicación anterior puede resultar confusa, también se pueden escribir los vectores base de K [ G ] como e _g (en lugar de g ), en cuyo caso la multiplicación se escribe como:

e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.

La interpretación como funciones

Si pensamos en el espacio vectorial libre como funciones con valores en K sobre G , la multiplicación algebraica es una convolución de funciones.

Si bien el álgebra de grupo de un grupo finito puede identificarse con el espacio de funciones en el grupo, para un grupo infinito estos son diferentes. El álgebra de grupo, que consiste en sumas finitas , corresponde a funciones en el grupo que se anulan para una cantidad cofinita de puntos; topológicamente (usando la topología discreta ), estas corresponden a funciones con soporte compacto .

Sin embargo, el álgebra de grupo K [ G ] y el espacio de funciones K ^G := Hom( G , K ) son duales: dado un elemento del álgebra de grupo

x=\sum _{g\in G}a_{g}g

y una función en el grupo f : G → K estos pares para dar un elemento de K mediante

(x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),

que es una suma bien definida porque es finita.

Representaciones de un álgebra de grupo

Tomando K [ G ] como un álgebra abstracta, se pueden pedir representaciones del álgebra que actúan sobre un espacio vectorial K- dimensional V de dimensión d . Tal representación

{\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{Fin}}(V)

es un homomorfismo de álgebra del álgebra de grupo al álgebra de endomorfismos de V , que es isomorfo al anillo de matrices d × d : $\mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)$ . De forma equivalente, este es un K [ G ]-módulo izquierdo sobre el grupo abeliano V .

En consecuencia, una representación de grupo

\rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),

es un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos lineales de V , que es isomorfo al grupo lineal general de matrices invertibles: $\mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)$ Cualquier representación de este tipo induce una representación algebraica.

{\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),

simplemente dejando ${\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)$ y extendiéndose linealmente. Por lo tanto, las representaciones del grupo se corresponden exactamente con las representaciones del álgebra, y las dos teorías son esencialmente equivalentes.

Representación regular

El álgebra de grupo es un álgebra sobre sí misma; bajo la correspondencia de representaciones sobre módulos R y R [ G ], es la representación regular del grupo.

Escrita como una representación, es la representación g ↦ ρ _g con la acción dada por $\rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}$ , o

\rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.

Descomposición semisimple

La dimensión del espacio vectorial K [ G ] es igual al número de elementos del grupo. El cuerpo K se suele tomar como los números complejos C o los reales R , de modo que se habla de las álgebras de grupo C [ G ] o R [ G ].

El álgebra de grupo C [ G ] de un grupo finito sobre los números complejos es un anillo semisimple . Este resultado, el teorema de Maschke , nos permite entender C [ G ] como un producto finito de anillos de matrices con entradas en C. En efecto, si enumeramos las representaciones irreducibles complejas de G como Vk para k = 1, ..., m , estas corresponden a homomorfismos de grupo _. $\rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})$ y por lo tanto a los homomorfismos del álgebra ${\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})$ . El ensamblaje de estas aplicaciones da como resultado un isomorfismo de álgebra.

{\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),

donde d _k es la dimensión de V _k . La subálgebra de C [ G ] correspondiente a End( V _k ) es el ideal bilateral generado por el idempotente

\epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,

dónde $\chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)$ es el carácter de V _k . Estos forman un sistema completo de idempotentes ortogonales, de modo que $\epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}$ , $\epsilon _{j}\epsilon _{k}=0$ para j ≠ k y $1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}$ El isomorfismo ${\tilde {\rho }}$ está estrechamente relacionado con la transformada de Fourier en grupos finitos .

Para un cuerpo K más general , siempre que la característica de K no divida el orden del grupo G , entonces K [ G ] es semisimple. Cuando G es un grupo abeliano finito , el anillo de grupo K [G] es conmutativo y su estructura es fácil de expresar en términos de raíces de la unidad .

Cuando K es un cuerpo de característica p que divide el orden de G , el anillo de grupo no es semisimple: tiene un radical de Jacobson distinto de cero , y esto le da al tema correspondiente de la teoría de la representación modular su propio carácter más profundo.

Centro de un álgebra de grupo

El centro del álgebra de grupo es el conjunto de elementos que conmutan con todos los elementos del álgebra de grupo:

\mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.

El centro es igual al conjunto de funciones de clase , es decir, el conjunto de elementos que son constantes en cada clase de conjugación.

\mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.

Si K = C , el conjunto de caracteres irreducibles de G forma una base ortonormal de Z( K [ G ]) con respecto al producto interno.

\left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.

Anillos de grupo sobre un grupo infinito

Se sabe mucho menos en el caso en que G es numerablemente infinito o no numerable, y esta es un área de investigación activa. ^{[ 3 ]} El caso en que R es el cuerpo de los números complejos es probablemente el mejor estudiado. En este caso, Irving Kaplansky demostró que si a y b son elementos de C [ G ] con ab = 1 , entonces ba = 1 . Se desconoce si esto es cierto si R es un cuerpo de característica positiva.

Una antigua conjetura de Kaplansky (~1940) afirma que si G es un grupo sin torsión y K es un cuerpo, entonces el anillo de grupo K [ G ] no tiene divisores de cero no triviales . Esta conjetura es equivalente a que K [ G ] no tenga nilpotentes no triviales bajo las mismas hipótesis para K y G.

De hecho, la condición de que K sea un campo se puede relajar a cualquier anillo que pueda incrustarse en un dominio integral .

La conjetura permanece abierta en su totalidad, sin embargo, se ha demostrado que algunos casos especiales de grupos sin torsión satisfacen la conjetura del divisor cero. Estos incluyen:

Grupos de productos únicos (por ejemplo, grupos que se pueden pedir , en particular grupos gratuitos )
grupos elementales amenables (por ejemplo, grupos virtualmente abelianos )
Grupos difusos – en particular, grupos que actúan libremente de forma isométrica sobre árboles R , y los grupos fundamentales de grupos de superficie excepto los grupos fundamentales de sumas directas de una, dos o tres copias del plano proyectivo.

El caso en el que G es un grupo topológico se analiza con mayor detalle en el artículo Álgebra de grupo de un grupo localmente compacto .

Teoría de categorías

Adjunto

Categóricamente , la construcción del anillo de grupo es adjunta izquierda a " grupo de unidades "; los siguientes functores son un par adjunto : ${\begin{aligned}R[-]&\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} \\(-)^{\times }&\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} \end{aligned}}$ dónde $R[-]$ lleva un grupo a su anillo de grupo sobre R y $(-)^{\times }$ toma un álgebra R a su grupo de unidades.

Cuando R = Z , esto da una adjunción entre la categoría de grupos y la categoría de anillos , y la unidad de la adjunción transforma un grupo G en un grupo que contiene unidades triviales: G × {±1} = {± g }. En general, los anillos de grupo contienen unidades no triviales. Si G contiene elementos a y b tales que $a^{n}=1$ y b no se normaliza $\langle a\rangle$ entonces el cuadrado de

$x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)$

es cero, por lo tanto $(1+x)(1-x)=1$ . El elemento 1 + x es una unidad de orden infinito.

Propiedad universal

La adjunción anterior expresa una propiedad universal de los anillos de grupo. ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]} Sea R un anillo (conmutativo), sea G un grupo y sea S un álgebra sobre R. Para cualquier homomorfismo de grupo $f:G\to S^{\times }$ , existe un homomorfismo de R -álgebra único ${\overline {f}}:R[G]\to S$ de tal manera que ${\overline {f}}^{\times }\circ i=f$ donde i es la inclusión

${\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}$

En otras palabras, ${\overline {f}}$ es el único homomorfismo que hace que el siguiente diagrama sea conmutativo:

Cualquier otro anillo que satisfaga esta propiedad es canónicamente isomorfo al anillo del grupo.

Álgebra de Hopf

El álgebra de grupo K [ G ] tiene una estructura natural de álgebra de Hopf . La comultiplicación se define por $\Delta (g)=g\otimes g$ , extendido linealmente, y el antípoda es $S(g)=g^{-1}$ , nuevamente extendido linealmente.

Cuando se equipa con esta estructura de álgebra de Hopf, la construcción del álgebra de grupo queda adjunta a la izquierda del functor " elementos de tipo grupo "; los siguientes functores son un par adjunto: ${\begin{aligned}K[-]&\colon \mathbf {Grp} \to K\mathbf {{\text{-}}Hopf} \\G(-)&\colon K\mathbf {{\text{-}}Hopf} \to \mathbf {Grp} \end{aligned}}$ dónde $K[-]$ toma un grupo a su álgebra de Hopf de grupo sobre K , y $G(-)$ toma un álgebra de Hopf a su grupo de elementos de tipo grupo.

Generalizaciones

El álgebra de grupos se generaliza al anillo de monoides y de ahí al álgebra de categorías , de la cual otro ejemplo es el álgebra de incidencia .

Filtración

Si un grupo tiene una función de longitud – por ejemplo, si hay una elección de generadores y se toma la métrica de palabras , como en los grupos de Coxeter – entonces el anillo del grupo se convierte en un álgebra filtrada .

Véase también

Teoría de la representación

Teoría de categorías

Notas

↑ Milies y Sehgal (2002), págs. 129 y 131.
^ Milies y Sehgal (2002), pág. 131.
↑ Passman, Donald S. (1976). "¿Qué es un anillo de grupo?" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 83 (3): 173– 185. doi : 10.2307/2977018 . JSTOR 2977018. Archivado del original el 10 de agosto de 2017.
↑ "álgebra de grupos en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 1 de noviembre de 2017 .

Referencias

AA Bovdi (2001) [1994], "Álgebra de grupos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , archivado del original el 22 de febrero de 2025.
Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. Introducción a los anillos de grupo . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
Charles W. Curtis , Irving Reiner . Teoría de la representación de grupos finitos y álgebras asociativas , Interscience (1962)
DS Passman, La estructura algebraica de los anillos de grupo , Wiley (1977)

[1] Milies y Sehgal (2002), págs. 129 y 131.

[Milies-2] Milies y Sehgal (2002), pág. 131.

[3] Passman, Donald S. (1976). "¿Qué es un anillo de grupo?" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 83 (3): 173– 185. doi : 10.2307/2977018 . JSTOR 2977018. Archivado del original el 10 de agosto de 2017.

[4] "álgebra de grupos en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 1 de noviembre de 2017 .

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