Álgebra libre

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un álgebra libre es el análogo no conmutativo de un anillo de polinomios, ya que sus elementos pueden describirse como "polinomios" con variables no conmutativas. De igual modo, el anillo de polinomios puede considerarse un álgebra conmutativa libre .

Para R un anillo conmutativo , el álgebra libre ( asociativa , unitaria ) sobre n indeterminadas { X ₁ ,..., X _n } es el R -módulo libre con una base que consta de todas las palabras sobre el alfabeto { X ₁ ,..., X _n } (incluida la palabra vacía, que es la unidad del álgebra libre). Este R -módulo se convierte en un R -álgebra al definir una multiplicación como sigue: el producto de dos elementos de la base es la concatenación de las palabras correspondientes:

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

y el producto de dos elementos arbitrarios de un R -módulo queda así determinado de forma única (porque la multiplicación en un R -álgebra debe ser R -bilineal). Este R -álgebra se denota por R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩. Esta construcción puede generalizarse fácilmente a un conjunto arbitrario X de indeterminadas.

En resumen, para un conjunto arbitrario${\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}$, el álgebra R libre ( asociativa , unitaria ) en X es

${\displaystyle R\langle X\rangle$ :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}

con la multiplicación bilineal R que es la concatenación de palabras, donde X * denota el monoide libre en X (es decir, palabras en las letras X _i ),${\displaystyle \oplus }$denota la suma directa externa , y Rw denota el R -módulo libre en 1 elemento, la palabra w .

Por ejemplo, en R ⟨ X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ⟩, para escalares α, β, γ, δ ∈ R , un ejemplo concreto de un producto de dos elementos es

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$.

El anillo de polinomios no conmutativos puede identificarse con el anillo de monoides sobre R del monoide libre de todas las palabras finitas en X _i .

Dado que las palabras sobre el alfabeto { X ₁ , ..., X _n } forman una base de R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩, es claro que cualquier elemento de R ⟨ X ₁ , ..., X _n ⟩ puede escribirse de forma única en la forma:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

dónde${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$son elementos de R y todos, salvo un número finito de estos elementos, son cero. Esto explica por qué los elementos de R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ se suelen denotar como "polinomios no conmutativos" en las "variables" (o "indeterminadas") X ₁ ,..., X _n ; los elementos${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}$Se dice que son "coeficientes" de estos polinomios, y el álgebra R ⟨ X ₁ ,..., X _n ⟩ se llama "álgebra de polinomios no conmutativa sobre R en n indeterminadas". Nótese que, a diferencia de un anillo de polinomios real , las variables no conmutan . Por ejemplo, X ₁ X ₂ no es igual a X ₂ X ₁ .

De forma más general, se puede construir el álgebra libre R ⟨ E ⟩ sobre cualquier conjunto E de generadores . Dado que los anillos pueden considerarse como Z -álgebras, un anillo libre sobre E puede definirse como el álgebra libre Z ⟨ E ⟩.

Sobre un cuerpo , el álgebra libre en n indeterminadas se puede construir como el álgebra tensorial en un espacio vectorial n- dimensional . Para un anillo de coeficientes más general, la misma construcción funciona si tomamos el módulo libre en n generadores .

La construcción del álgebra libre en E es de naturaleza funtorial y satisface una propiedad universal apropiada . El functor del álgebra libre es adjunto izquierdo del functor de olvido de la categoría de R -álgebras a la categoría de conjuntos .

Las álgebras libres sobre anillos de división son anillos ideales libres .

• Cofree coalgebra
• álgebra tensorial
• Objeto libre
• Anillo no conmutativo
• Series racionales
• Álgebra de términos

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Series racionales no conmutativas con aplicaciones . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  137. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007 . 
• AA Bovdi (2001) [1994], "Álgebra asociativa libre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , archivado del original el 15 de noviembre de 2025.