Núcleo (teoría de categorías)

En la teoría de categorías y sus aplicaciones a otras ramas de las matemáticas , los núcleos son una generalización de los núcleos de los homomorfismos de grupos , los núcleos de los homomorfismos de módulos y ciertos otros núcleos del álgebra . ^{[ 1 ]} Intuitivamente, el núcleo del morfismo f  : X → Y es el morfismo "más general" k  : K → X que produce cero cuando se compone con (seguido de) f . ^{[ 2 ]}

Los pares de núcleos y los núcleos de diferencia (también conocidos como ecualizadores binarios ) a veces reciben el nombre de "núcleo" y no se tratan en este artículo.

Sea C una categoría . Para definir un núcleo en el sentido general de la teoría de categorías, C necesita tener morfismos cero . En ese caso, si f  : X → Y es un morfismo arbitrario en C , entonces un núcleo de f es un igualador de f y el morfismo cero de ^X a Y. [ 2 ^{] En} símbolos:

ker( f ) = eq( f , 0 _XY )

Para ser más explícitos, se puede utilizar la siguiente propiedad universal . Un núcleo de f es un objeto K junto con un morfismo k  : K → X tal que se cumplen las dos afirmaciones siguientes:

• f ∘ k es el morfismo cero de K a Y ;

• Dado cualquier morfismo k ′  : K ′ → X tal que f ∘ k ′ es el morfismo cero, existe un único morfismo u  : K ′ → K tal que k ∘ u = k ′ .

Como ocurre con toda propiedad universal, existe un isomorfismo único entre dos núcleos del mismo morfismo, y el morfismo k es siempre un monomorfismo (en el sentido categórico). Por lo tanto, es común hablar del núcleo de un morfismo. En categorías concretas , se puede tomar un subconjunto de X para K , en cuyo caso, el morfismo k es la aplicación de inclusión . Esto permite hablar de K como el núcleo, ya que k está implícitamente definido por K. Existen categorías no concretas, donde se puede definir de manera similar un núcleo "natural", de modo que K define k implícitamente.

No todo morfismo necesita tener un núcleo, pero si lo tiene, entonces todos sus núcleos son isomorfos en un sentido fuerte: si k  : K → X y ℓ  : L → X son núcleos de f  : X → Y , entonces existe un único isomorfismo φ  : K → L tal que ℓ ∘φ = k .

Los núcleos son familiares en muchas categorías del álgebra abstracta , como la categoría de grupos o la categoría de módulos (izquierdos) sobre un anillo fijo (incluidos los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo ). Para ser más explícitos, si f  : X → Y es un homomorfismo en una de estas categorías, y K es su núcleo en el sentido algebraico usual , entonces K es un subobjeto de X y el homomorfismo de inclusión de K a X es un núcleo en el sentido categórico.

Cabe señalar que, en la categoría de monoides , existen núcleos categóricos, al igual que en los grupos, pero estos núcleos no contienen información suficiente para fines algebraicos. Por lo tanto, la noción de núcleo estudiada en la teoría de monoides es ligeramente diferente (véase la sección «Relación con los núcleos algebraicos» más adelante).

En la categoría de anillos unitarios , no existen núcleos en el sentido categórico; de hecho, esta categoría ni siquiera tiene morfismos cero. Sin embargo, aún existe una noción de núcleo estudiada en la teoría de anillos que se corresponde con los núcleos en la categoría de anillos no unitarios .

En la categoría de espacios topológicos con punto , si f  : X → Y es una aplicación continua con punto, entonces la preimagen del punto distinguido, K , es un subespacio de X . La aplicación de inclusión de K en X es el núcleo categórico de f .

El concepto dual al de núcleo es el de conúcleo . Es decir, el núcleo de un morfismo es su conúcleo en la categoría opuesta , y viceversa.

Como se mencionó anteriormente, un núcleo es un tipo de ecualizador binario, o núcleo de diferencia . Recíprocamente, en una categoría preaditiva , todo ecualizador binario puede construirse como un núcleo. Para ser más específicos, el ecualizador de los morfismos f y g es el núcleo de la diferencia g − f . En símbolos:

eq ( f , g ) = ker ( g − f ).

Es debido a este hecho que los ecualizadores binarios se denominan "núcleos de diferencia", incluso en categorías no preaditivas donde no se pueden restar morfismos.

Todo núcleo, como cualquier otro ecualizador, es un monomorfismo . Recíprocamente, un monomorfismo se denomina normal si es el núcleo de algún morfismo. Una categoría se denomina normal si todo monomorfismo es normal.

Las categorías abelianas , en particular, son siempre normales. En esta situación, el núcleo del conúcleo de cualquier morfismo (que siempre existe en una categoría abeliana) resulta ser la imagen de ese morfismo; en símbolos:

im f = ker coker f (en una categoría abeliana)

Cuando m es un monomorfismo, debe ser su propia imagen; por lo tanto, no solo las categorías abelianas son normales, de modo que todo monomorfismo es un núcleo, sino que también sabemos de qué morfismo es núcleo el monomorfismo, es decir, su co-núcleo. En símbolos:

m = ker (coker m ) (para monomorfismos en una categoría abeliana)

El álgebra universal define una noción de núcleo para los homomorfismos entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo. Este concepto de núcleo mide la distancia entre el homomorfismo dado y la inyectividad . Existe cierta superposición entre esta noción algebraica y la noción categórica de núcleo, ya que ambas generalizan la situación de grupos y módulos mencionada anteriormente. Sin embargo, en general, la noción de núcleo del álgebra universal se asemeja más al concepto de par de núcleos de la teoría de categorías . En particular, los pares de núcleos pueden utilizarse para interpretar los núcleos en la teoría de monoides o en la teoría de anillos en términos de la teoría de categorías.

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías (PDF) . Oxford Logic Guides. Vol.  49 (2.ª  ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. Archivado del original (PDF) el 21-05-2018 . Consultado el 29-06-2018 .
• Núcleo en el laboratorio n