Función Whittaker

En matemáticas, una función de Whittaker es una solución especial de la ecuación de Whittaker , una forma modificada de la ecuación hipergeométrica confluente introducida por Whittaker ( 1903 ) para hacer más simétricas las fórmulas que involucran las soluciones. De manera más general, Jacquet ( 1966 , 1967 ) introdujo las funciones de Whittaker de grupos reductivos sobre cuerpos locales , donde las funciones estudiadas por Whittaker son esencialmente el caso en que el cuerpo local son los números reales y el grupo es SL ₂ ( R ).  

La ecuación de Whittaker es

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

Tiene un punto singular regular en 0 y un punto singular irregular en ∞. Dos soluciones vienen dadas por las funciones de Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ), definidas en términos de las funciones hipergeométricas confluentes de Kummer M y U por

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).}$

La función Whittaker${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)}$es lo mismo que aquellos con valores opuestos de μ , en otras palabras, considerada como una función de μ para κ y z fijos , son funciones pares . Cuando κ y z son reales, las funciones dan valores reales para valores reales e imaginarios de μ . Estas funciones de μ desempeñan un papel en los llamados espacios de Kummer . ^{[ 1 ]}

Las funciones de Whittaker aparecen como coeficientes de ciertas representaciones del grupo SL ₂ ( R ), llamadas modelos de Whittaker .

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