Modelo Whittaker

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el modelo de Whittaker es una realización de una representación de un grupo algebraico reductivo como GL ₂ sobre un cuerpo finito , local o global en un espacio de funciones sobre el grupo. Recibe su nombre de E. T. Whittaker, aunque nunca trabajó en esta área, porque (Jacquet 1966 , 1967 ) señaló que para el grupo SL ₂ ( R ) algunas de las funciones involucradas en la representación son funciones de Whittaker . 

Las representaciones irreducibles sin un modelo de Whittaker se denominan a veces "degeneradas", y aquellas con un modelo de Whittaker se denominan a veces "genéricas". La representación θ ₁₀ del grupo simpléctico Sp ₄ es el ejemplo más simple de una representación degenerada.

Si G es el grupo algebraico GL ₂ y F es un cuerpo local, y τ es un carácter no trivial fijo del grupo aditivo de F y π es una representación irreducible de un grupo lineal general G ( F ), entonces el modelo de Whittaker para π es una representación π en un espacio de funciones ƒ en G ( F ) que satisface

${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).}$

Jacquet y Langlands (1970) utilizaron modelos de Whittaker para asignar funciones L a representaciones admisibles de GL ₂ .

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$,${\displaystyle \psi }$un carácter aditivo no trivial suave y complejo de valor${\displaystyle F}$y${\displaystyle U}$el subgrupo de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$que consiste en matrices triangulares superiores unipotentes. Un carácter no degenerado en${\displaystyle U}$es de la forma

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

para${\displaystyle u=(x_{ij})}$∈${\displaystyle U}$y distinto de cero${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$∈${\displaystyle F}$. Si${\displaystyle (\pi ,V)}$es una representación suave de${\displaystyle G(F)}$, un funcional de Whittaker${\displaystyle \lambda }$es un funcional lineal continuo en${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$a pesar de${\displaystyle u}$∈${\displaystyle U}$,${\displaystyle v}$∈${\displaystyle V}$. La multiplicidad uno establece que, para${\displaystyle \pi }$unitaria irreducible, el espacio de funcionales de Whittaker tiene dimensión como máximo igual a uno.

Si G es un grupo reductivo dividido y U es el radical unipotente de un subgrupo de Borel B , entonces un modelo de Whittaker para una representación es una incrustación de ella en la representación inducida ( Gelfand-Graev ) Ind ^G _U ( χ ), donde χ es un carácter no degenerado de U , como la suma de los caracteres correspondientes a raíces simples.

• Representación de Gelfand-Graev , aproximadamente la suma de modelos de Whittaker sobre un campo finito.
• modelo de Kirillov

• Jacquet, Hervé (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943– A945, ISSN 0151-0509 , SEÑOR 0200390  
• Jacquet, Hervé (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243– 309, doi : 10.24033/bsmf.1654 , ISSN 0037-9484 , MR 0271275  
• Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Formas automórficas en GL(2) , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114  , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654 , S2CID 122773458  
• JA Shalika, El teorema de la multiplicidad uno para${\displaystyle GL_{n}}$, Anales de Matemáticas, 2.ª serie, vol. 100, n.º 2 (1974), 171–193.

• Jacquet, Hervé; Shalika, Joseph (1983). "Los modelos de Whittaker de representaciones inducidas" . Pacific Journal of Mathematics . 109 (1): 107– 120. doi : 10.2140/pjm.1983.109.107 . ISSN 0030-8730 .