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Articulo de referencia

Función de cilindro parabólico

Superficies de coordenadas de coordenadas cilíndricas parabólicas. Las funciones de cilindro parabólico se obtienen al utilizar la separación de variables en la ecuación de Lapl...

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Superficies de coordenadas de coordenadas cilíndricas parabólicas. Las funciones de cilindro parabólico se obtienen al utilizar la separación de variables en la ecuación de Laplace en estas coordenadas.
Gráfico de la función del cilindro parabólico Dν(z) con ν = 5 en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i.
Gráfico de la función del cilindro parabólico D ν ( z ) con ν = 5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

En matemáticas , las funciones del cilindro parabólico son funciones especiales definidas como soluciones de la ecuación diferencial.

Esta ecuación se obtiene al utilizar la técnica de separación de variables en la ecuación de Laplace cuando se expresa en coordenadas cilíndricas parabólicas .

La ecuación anterior se puede transformar en dos formas distintas (A) y (B) completando el cuadrado y reescalando z , llamadas ecuaciones de HF Weber : [ 1 ]

y

SiF(a,z){\displaystyle f(a,z)}Si es una solución, entonces también lo son. F(a,−z),F(−a,iz) y F(−a,−iz).{\displaystyle f(a,-z),f(-a,iz){\text{ y }}f(-a,-iz).}

SiF(a,z){\displaystyle f(a,z)\,}es una solución de la ecuación ( A ), entoncesF(−ia,zmi(1/4)πi){\displaystyle f(-ia,ze^{(1/4)\pi i})}es una solución de ( B ) y, por simetría, F(−ia,−zmi(1/4)πi),F(ia,−zmi−(1/4)πi) y F(ia,zmi−(1/4)πi){\displaystyle f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}){\text{ y }}f(ia,ze^{-(1/4)\pi i})} son también soluciones de ( B ).

Soluciones

Hay soluciones pares e impares independientes de la forma ( A ). Estas vienen dadas por (siguiendo la notación de Abramowitz y Stegun (1965)): [ 2 ]y1(a;z)=exp⁡(−z2/4)1F1(12a+14;12;z22)(mivminorte){\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}};\;{\tfrac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {par} )} y y2(a;z)=zexp⁡(−z2/4)1F1(12a+34;32;z22)(odd){\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4}};\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {odd} )} dónde1F1(a;b;z)=METRO(a;b;z){\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}es la función hipergeométrica confluente .

Otros pares de soluciones independientes pueden formarse a partir de combinaciones lineales de las soluciones anteriores. [ 2 ] Un par de estos se basa en su comportamiento en el infinito: U(a,z)=12ξπ[porque⁡(ξπ)Γ(1/2−ξ)y1(a,z)−2pecado⁡(ξπ)Γ(1−ξ)y2(a,z)]{\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}V(a,z)=12ξπΓ[1/2−a][pecado⁡(ξπ)Γ(1/2−ξ)y1(a,z)+2porque⁡(ξπ)Γ(1−ξ)y2(a,z)]{\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]} dóndeξ=12a+14.{\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.}

La función U ( a , z ) se aproxima a cero para valores grandes de z y |arg( z )| < π /2 , mientras que V ( a , z ) diverge para valores grandes de z real positivo . límitez→∞U(a,z)/(mi−z2/4z−a−1/2)=1(para|arg⁡(z)|<π/2){\displaystyle \lim _{z\to \infty }U(a,z)/\left(e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{para}}\,\left|\arg(z)\right|<\pi /2)} y límitez→∞V(a,z)/(2πmiz2/4za−1/2)=1(paraarg⁡(z)=0).{\displaystyle \lim _{z\to \infty }V(a,z)/\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{z^{2}/4}z^{a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\arg(z)=0).}

Para valores semi-enteros de a , estos (es decir, U y V ) pueden ser reexpresados ​​en términos de polinomios de Hermite ; alternativamente, también pueden ser expresados ​​en términos de funciones de Bessel .

Las funciones U y V también pueden relacionarse con las funciones D p ( x ) (una notación que se remonta a Whittaker (1902)) [ 3 ] que a veces se denominan funciones de cilindro parabólico: [ 2 ]U(a,incógnita)=D−a−12(incógnita),V(a,incógnita)=Γ(12+a)π[pecado⁡(πa)D−a−12(incógnita)+D−a−12(−incógnita)].{\displaystyle {\begin{aligned}U(a,x)&=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),\\V(a,x)&={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)].\end{aligned}}}

La función D a ( z ) fue introducida por Whittaker y Watson como una solución de la ecuación ( 1 ) cona~=−14,b~=0,do~=a+12{\textstyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}}limitado en+∞{\displaystyle +\infty }. [ 4 ] Puede expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes como

Da(z)=1π2a/2mi−z24(porque⁡(πa2)Γ(a+12)1F1(−a2;12;z22)+2zpecado⁡(πa2)Γ(a2+1)1F1(12−a2;32;z22)).{\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}e^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left(\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right)}.}

Abadir (1993) obtuvo series de potencias para esta función. [ 5 ]

Función U(a,z) del cilindro parabólico

Representación integral

Integrales a lo largo de la recta real , [ 6 ]U(a,z)=mi−14z2Γ(a+12)∫0∞mi−ztta−12mi−12t2dt,ℜa>−12,{\displaystyle U(a,z)={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}}{\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re a>-{\frac {1}{2}}\;,}U(a,z)=2πmi14z2∫0∞porque⁡(zt+π2a+π4)t−a−12mi−12t2dt,ℜa<12.{\displaystyle U(a,z)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{{\frac {1}{4}}z^{2}}\int _{0}^{\infty }\cos \left(zt+{\frac {\pi }{2}}a+{\frac {\pi }{4}}\right)t^{-a-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re a<{\frac {1}{2}}\;.} El hecho de que estas integrales sean soluciones de la ecuación  ( A ) se puede comprobar fácilmente mediante sustitución directa.

Derivado

Diferenciando las integrales con respecto az{\displaystyle z}da dos expresiones paraU′(a,z){\displaystyle U'(a,z)}, U′(a,z)=−z2U(a,z)−mi−14z2Γ(a+12)∫0∞mi−ztta+12mi−12t2dt=−z2U(a,z)−(a+12)U(a+1,z),{\displaystyle U'(a,z)=-{\frac {z}{2}}U(a,z)-{\frac {e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}}{\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a+{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt=-{\frac {z}{2}}U(a,z)-\left(a+{\frac {1}{2}}\right)U(a+1,z)\;,}U′(a,z)=z2U(a,z)−2πmi14z2∫0∞pecado⁡(zt+π2a+π4)t−a+12mi−12t2dt=z2U(a,z)−U(a−1,z).{\displaystyle U'(a,z)={\frac {z}{2}}U(a,z)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{{\frac {1}{4}}z^{2}}\int _{0}^{\infty }\sin \left(zt+{\frac {\pi }{2}}a+{\frac {\pi }{4}}\right)t^{-a+{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\frac {z}{2}}U(a,z)-U(a-1,z)\;.} Sumando las dos se obtiene otra expresión para la derivada, 2U′(a,z)=−(a+12)U(a+1,z)−U(a−1,z).{\displaystyle 2U'(a,z)=-\left(a+{\frac {1}{2}}\right)U(a+1,z)-U(a-1,z)\;.}

Relación de recurrencia

Restando las dos primeras expresiones para la derivada se obtiene la relación de recurrencia, zU(a,z)=U(a−1,z)−(a+12)U(a+1,z).{\displaystyle zU(a,z)=U(a-1,z)-\left(a+{\frac {1}{2}}\right)U(a+1,z)\;.}

Expansión asintótica

En expansión mi−12t2=1−12t2+18t4−…{\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}-\dots \;} en el integrando de la representación integral da la expansión asintótica deU(a,z){\displaystyle U(a,z)}, U(a,z)=mi−14z2z−a−12(1−(a+12)(a+32)21z2+(a+12)(a+32)(a+52)(a+72)81z4−…).{\displaystyle U(a,z)=e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}z^{-a-{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {(a+{\frac {1}{2}})(a+{\frac {3}{2}})}{2}}{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {(a+{\frac {1}{2}})(a+{\frac {3}{2}})(a+{\frac {5}{2}})(a+{\frac {7}{2}})}{8}}{\frac {1}{z^{4}}}-\dots \right).}

Serie Power

Ampliando la representación integral en potencias dez{\displaystyle z}da U(a,z)=π2−a2−14Γ(a2+34)−π2−a2+14Γ(a2+14)z+π2−a2−54Γ(a2+34)z2−….{\displaystyle U(a,z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)}}-{\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)}}z+{\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}-{\frac {5}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)}}z^{2}-\dots \;.}

Valores en z=0

De la serie de potencia uno obtiene inmediatamente U(a,0)=π2−a2−14Γ(a2+34),{\displaystyle U(a,0)={\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)}}\;,}U′(a,0)=−π2−a2+14Γ(a2+14).{\displaystyle U'(a,0)=-{\frac {{\sqrt {\pi }}\,2^{-{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}}}{\Gamma \left({\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)}}\;.}

Función D ν (z) del cilindro parabólico

Función de cilindro parabólicoDν(z){\displaystyle D_{\nu }(z)}es la solución a la ecuación diferencial de Weber , tú″+(ν+12−14z2)tú=0,{\displaystyle u''+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}z^{2}\right)u=0\,,} eso es regular enℜz→+∞{\displaystyle \Re z\to +\infty }con la asintótica Dν(z)→mi−14z2zν.{\displaystyle D_{\nu }(z)\to e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}z^{\nu }\,.} Se da así comoDν(z)=U(−ν−1/2,z){\displaystyle D_{\nu }(z)=U(-\nu -1/2,z)}y sus propiedades se derivan directamente de las de laU{\displaystyle U}-función.

Representación integral

Dν(z)=mi−14z2Γ(−ν)∫0∞mi−ztt−ν−1mi−12t2dt,ℜν<0,ℜz>0,{\displaystyle D_{\nu }(z)={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}}{\Gamma (-\nu )}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{-\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re \nu <0\,,\;\Re z>0\;,}Dν(z)=2πmi14z2∫0∞porque⁡(zt−νπ2)tνmi−12t2dt,ℜν>−1.{\displaystyle D_{\nu }(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{{\frac {1}{4}}z^{2}}\int _{0}^{\infty }\cos \left(zt-\nu {\frac {\pi }{2}}\right)t^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt\,,\;\Re \nu >-1\;.}

Expansión asintótica

Dν(z)=mi−14z2zν(1−ν(ν−1)21z2+ν(ν−1)(ν−2)(ν−3)81z4−…),ℜz→+∞.{\displaystyle D_{\nu }(z)=e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}z^{\nu }\left(1-{\frac {\nu (\nu -1)}{2}}{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {\nu (\nu -1)(\nu -2)(\nu -3)}{8}}{\frac {1}{z^{4}}}-\dots \right)\,,\;\Re z\to +\infty .} Siν{\displaystyle \nu }es un entero no negativo esta serie termina y se convierte en un polinomio, a saber, el polinomio de Hermite , Dnorte(z)=mi−14z22−norte/2Hnorte(z2),norte=0,1,2,….{\displaystyle D_{n}(z)=e^{-{\frac {1}{4}}z^{2}}\;2^{-n/2}H_{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\,,n=0,1,2,\dots \;.}

Conexión con el oscilador armónico cuántico

Cilindro parabólicoDν(z){\displaystyle D_{\nu }(z)}La función aparece de forma natural en la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional (una partícula cuántica en el potencial del oscilador). [−ℏ22metro∂2∂incógnita2+12metroω2incógnita2]ψ(incógnita)=miψ(incógnita),{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right]\psi (x)=E\psi (x)\;,} dónde ℏ{\displaystyle \hbar }es la constante de Planck reducida , metro{\displaystyle m}es la masa de la partícula, incógnita{\displaystyle x}es la coordenada de la partícula, ω{\displaystyle \omega }es la frecuencia del oscilador, mi{\displaystyle E}es la energía, yψ(incógnita){\displaystyle \psi (x)}es la función de onda de la partícula. De hecho, al introducir las nuevas cantidades z=incógnitabo,ν=miℏω−12,bo=ℏ2metroω,{\displaystyle z={\frac {x}{b_{o}}}\,,\;\nu ={\frac {E}{\hbar \omega }}-{\frac {1}{2}}\,,\;b_{o}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,,} convierte la ecuación anterior en la ecuación de Weber para la funcióntú(z)=ψ(zbo){\displaystyle u(z)=\psi (zb_{o})}, tú″+(ν+12−14z2)tú=0.{\displaystyle u''+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}z^{2}\right)u=0\,.}

Referencias

  1. ^ Weber, HF (1869), "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung∂2tú/∂incógnita2+∂2tú/∂y2+k2tú=0{\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0}", Math. Ann. , vol.  1, págs . 1–36 
  2. 1 2 3 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 19» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de matemáticas aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 686. ISBN    978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  3. ↑ Whittaker, ET (1902) "Sobre las funciones asociadas con el cilindro parabólico en el análisis armónico" Proc. London Math. Soc. , 35, 417–427.
  4. ↑ Whittaker, ET y Watson, GN (1990) "La función del cilindro parabólico". §16.5 en Un curso de análisis moderno, 4.ª ed. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, pp. 347-348.
  5. ↑ Abadir, KM (1993) "Expansiones para algunas funciones hipergeométricas confluentes." Journal of Physics A , 26, 4059-4066.
  6. ↑ Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. https://dlmf.nist.gov/ , Versión 1.2.2 del 15 de septiembre de 2024. FWJ Olver, AB Olde Daalhuis, DW Lozier, BI Schneider, RF Boisvert, CW Clark, BR Miller, BV Saunders, HS Cohl y MA McClain, eds.