punto singular regular

En matemáticas , en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano complejo. $\mathbb {C}$ , los puntos de $\mathbb {C}$ Se clasifican en puntos ordinarios , en los que los coeficientes de la ecuación son funciones analíticas , y puntos singulares , en los que algún coeficiente presenta una singularidad . Entre los puntos singulares, se distingue entre un punto singular regular , donde el crecimiento de las soluciones está acotado (en cualquier sector pequeño) por una función algebraica , y un punto singular irregular , donde el conjunto completo de soluciones requiere funciones con tasas de crecimiento más elevadas. Esta distinción se da, por ejemplo, entre la ecuación hipergeométrica , con tres puntos singulares regulares, y la ecuación de Bessel , que es en cierto sentido un caso límite , pero cuyas propiedades analíticas son sustancialmente diferentes.

Definiciones formales

Más precisamente, consideremos una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden $n .$ $f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0$ con funciones meromorfas $p i (z)$ .

La ecuación debe estudiarse en la esfera de Riemann para incluir el punto en el infinito como un posible punto singular. Si es necesario, se puede aplicar una transformación de Möbius para trasladar el infinito a la parte finita del plano complejo; véase el ejemplo de la ecuación diferencial de Bessel a continuación.

Entonces, el método de Frobenius basado en la ecuación indicial puede aplicarse para encontrar posibles soluciones que sean series de potencias multiplicadas por potencias complejas $(z - a) r$ $cerca de cualquier a$ dado en el plano complejo donde $r$ no tiene por qué ser un entero; esta función puede existir, por lo tanto, solo gracias a un corte de rama que se extiende desde $a$ , o en una superficie de Riemann de algún disco perforado alrededor de $a$ . Esto no presenta ninguna dificultad para $un$ punto ordinario ( Lazarus Fuchs 1866). Cuando $a$ es un punto singular regular , lo que por definición significa que $p_{ni}(z)$ tiene un polo de orden como máximo $i$ en $a$ , el método de Frobenius también puede funcionar y proporcionar $n$ soluciones independientes cerca $de a$ .

De lo contrario, el punto $a$ es una singularidad irregular . En ese caso, el grupo de monodromía que relaciona las soluciones mediante continuación analítica aporta menos información en general, y las soluciones son más difíciles de estudiar, salvo en términos de sus expansiones asintóticas. La irregularidad de una singularidad irregular se mide mediante el rango de Poincaré . ^{[ 1 ]}

La condición de regularidad es una especie de condición de polígono de Newton , en el sentido de que los polos permitidos están en una región, cuando se representan gráficamente en función de i , delimitada por una línea a 45° de los ejes.

Una ecuación diferencial ordinaria cuyos únicos puntos singulares, incluido el punto en el infinito, son puntos singulares regulares se denomina ecuación fuchsiana.ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de segundo orden

En este caso, la ecuación anterior se reduce a: $f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.$

Se distinguen los siguientes casos:

El punto $a$ es un punto ordinario cuando las funciones $p 1 (x)$ y $p 0 (x)$ son analíticas en $x = a$ .
El punto $a$ es un punto singular regular si $p 1 (x)$ tiene un polo de orden hasta 1 en $x = a$ y $p 0$ tiene un polo de orden hasta 2 en $x = a$ .
De lo contrario, el punto $a$ es un punto singular irregular .

Podemos comprobar si existe un punto singular irregular en el infinito mediante la sustitución. $w=1/x$ y las relaciones: ${\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}$ ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}$

Podemos transformar así la ecuación en una ecuación en $w$ y comprobar qué ocurre en $w = 0.$ Si $p_{1}(x)$ y $p_{2}(x)$ son cocientes de polinomios, entonces habrá un punto singular irregular en x infinito a menos que el polinomio en el denominador de $p_{1}(x)$ es de grado al menos uno más que el grado de su numerador y el denominador de $p_{2}(x)$ es de grado al menos dos más que el grado de su numerador.

A continuación se enumeran varios ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de la física matemática que tienen puntos singulares y soluciones conocidas.

ecuación diferencial de Bessel

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas : $x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0$ para un número real o complejo arbitrario $α$ (el orden de la función de Bessel ). El caso especial más común e importante es cuando $α$ es un entero $n$ .

Dividiendo esta ecuación por x ² obtenemos: ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.$

En este caso, $p 1 (x) = 1/ x$ tiene un polo de primer orden en $x = 0$ . Cuando $α \neq 0$ , $p 0 (x) = (1 - α 2 / x 2)$ tiene un polo de segundo orden en $x = 0$ . Por lo tanto, esta ecuación tiene una singularidad regular en 0.

Para ver qué sucede cuando $x \to \infty$ hay que usar una transformación de Möbius , por ejemplo $x=1/w$ Después de realizar el álgebra: ${\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0$

Ahora en $w=0$ , $p_{1}(w)={\frac {1}{w}}$ tiene un polo de primer orden, pero $p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}$ tiene un polo de cuarto orden. Por lo tanto, esta ecuación tiene una singularidad irregular en $w=0$ correspondiente a x en ∞.

ecuación diferencial de Legendre

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas : ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.$

Al abrir el corchete se obtiene: $\left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.$

Y dividiendo por $(1 - x 2)$ : ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.$

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en ±1 e ∞.

ecuación diferencial de Hermite

Esta ecuación diferencial ordinaria de segundo orden se presenta al resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo. $E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi$ para un oscilador armónico . En este caso, la energía potencial V ( x ) es: $V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.$

Esto conduce a la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden: ${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.$

Esta ecuación diferencial tiene una singularidad irregular en ∞. Sus soluciones son polinomios de Hermite .

Ecuación hipergeométrica

La ecuación puede definirse como $z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.$

Dividiendo ambos lados por $z (1 - z)$ se obtiene: ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.$

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en 0, 1 e ∞. Una solución es la función hipergeométrica .

Referencias

↑ Arscott, FM (1995). «Ecuación de Heun». En Ronveaux, A. (ed.). Ecuaciones diferenciales de Heun . Oxford University Press. pág. 74. ISBN 0198596952.

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[1] Arscott, FM (1995). «Ecuación de Heun». En Ronveaux, A. (ed.). Ecuaciones diferenciales de Heun . Oxford University Press. pág. 74. ISBN 0198596952.

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