Función de onda de Coulomb

En matemáticas , una función de onda de Coulomb es una solución de la ecuación de onda de Coulomb , llamada así en honor a Charles-Augustin de Coulomb . Se utilizan para describir el comportamiento de partículas cargadas en un potencial de Coulomb y pueden escribirse en términos de funciones hipergeométricas confluentes o funciones de Whittaker de argumento imaginario.

La ecuación de onda de Coulomb para una única partícula cargada de masa es la ecuación de Schrödinger con potencial de Coulomb ^[1]${\estilo de visualización m}$

${\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _ {\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\ vec{r}})\,,}$

donde es el producto de las cargas de la partícula y de la fuente de campo (en unidades de la carga elemental , para el átomo de hidrógeno), es la constante de estructura fina y es la energía de la partícula. La solución, que es la función de onda de Coulomb, se puede encontrar resolviendo esta ecuación en coordenadas parabólicas. $Estilo de visualización Z=Z_{1}Z_{2}}$${\displaystyle Z=-1}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/(2m)}$

${\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ( {\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}$

Dependiendo de las condiciones de contorno elegidas, la solución tiene diferentes formas. Dos de las soluciones son ^{[2] [3]}

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2 }e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec { r}})\,,}$

donde es la función hipergeométrica confluente y es la función gamma . Las dos condiciones de contorno utilizadas aquí son${\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)}$${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}$

que corresponden a estados asintóticos de ondas planas orientadas en - antes o después de su aproximación a la fuente de campo en el origen, respectivamente. Las funciones están relacionadas entre sí por la fórmula ${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}$

La función de onda se puede expandir en ondas parciales (es decir, con respecto a la base angular) para obtener funciones radiales independientes del ángulo . Aquí . ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}$${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle \rho =kr}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}$

Un solo término de la expansión puede aislarse mediante el producto escalar con un armónico esférico específico.

${\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}$

La ecuación para una onda parcial simple se puede obtener reescribiendo el laplaciano en la ecuación de onda de Coulomb en coordenadas esféricas y proyectando la ecuación en un armónico esférico específico.${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}$

Las soluciones también se denominan funciones de onda (parciales) de Coulomb o funciones esféricas de Coulomb. Al poner , la ecuación de onda de Coulomb se transforma en la ecuación de Whittaker , por lo que las funciones de onda de Coulomb se pueden expresar en términos de funciones de Whittaker con argumentos imaginarios y . Estas últimas se pueden expresar en términos de las funciones hipergeométricas confluentes y . Para , se definen las soluciones especiales ^[4]${\displaystyle z=-2i\rho }$${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}$

dónde

${\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}$

se denomina desplazamiento de fase de Coulomb. También se definen las funciones reales

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}$

En particular, uno tiene

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}$

El comportamiento asintótico de las funciones esféricas de Coulomb , , y en general es ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}$

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

dónde

${\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}$

Las soluciones corresponden a ondas esféricas entrantes y salientes. Las soluciones y son reales y se denominan funciones de onda de Coulomb regulares e irregulares. En particular, se tiene la siguiente expansión de onda parcial para la función de onda ^[5]${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}$

Las partes radiales para un momento angular dado son ortonormales. Cuando se normalizan en la escala de número de onda ( escala k ), las funciones de onda radiales del continuo satisfacen ^{[6] [7]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}$

Otras normalizaciones comunes de las funciones de onda continua se encuentran en la escala de número de onda reducida ( escala -), ${\displaystyle k/2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}$

y en la escala energética

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}$

Las funciones de onda radiales definidas en la sección anterior están normalizadas a

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}$

como consecuencia de la normalización

${\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}$

Las funciones de onda de Coulomb continuas (o de dispersión) también son ortogonales a todos los estados ligados de Coulomb ^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}$

debido a que son estados propios del mismo operador hermítico (el hamiltoniano ) con diferentes valores propios.

• Bateman, Harry (1953), Funciones trascendentales superiores (PDF) , vol. 1, McGraw-Hill, archivado desde el original (PDF) el 2011-08-11 , consultado el 2011-07-30.
• Jaeger, JC; Hulme, HR (1935), "La conversión interna de rayos γ con la producción de electrones y positrones", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 148 (865): 708–728, Bibcode :1935RSPSA.148..708J, doi :10.1098/rspa.1935.0043, ISSN  0080-4630, JSTOR  96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Funciones hipergeométricas confluentes , Cambridge University Press , MR  0107026.