Función hipergeométrica generalizada

La siguiente identidad básica es muy útil ya que relaciona las funciones hipergeométricas de orden superior en términos de integrales sobre las de orden inferior ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

La función hipergeométrica generalizada satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

La combinación de estas expresiones da como resultado una ecuación diferencial que satisface w = _p F _q :

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

El teorema de Saalschütz ^{[ 6 ]} ( Saalschütz 1890 ) es

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Para una extensión de este teorema, véase un artículo de investigación de Rakha y Rathie. Según ( Andrews, Askey y Roy 1999 , p. 69) , de hecho fue descubierto por primera vez por Pfaff en 1797. ^{[ 7 ]} 

La identidad de Dixon , ^{[ 8 ]} probada por primera vez por Dixon (1902) , da la suma de un ₃ F ₂ bien equilibrado en 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Para una generalización de la identidad de Dixon, véase un artículo de Lavoie et al.

La fórmula de Dougall ( Dougall 1907 ) da la suma de una serie muy bien equilibrada que es finita y 2-equilibrada. 

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Terminando significa que m es un entero no negativo y 2-equilibrado significa que

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Muchas de las demás fórmulas para valores especiales de funciones hipergeométricas pueden derivarse de esta como casos especiales o límite. También se la conoce como la identidad de Dougall-Ramanujan. Es un caso especial de la identidad de Jackson y proporciona la identidad de Dixon y el teorema de Saalschütz como casos especiales. ^{[ 9 ]}

Identidad 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

dónde

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Identidad 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

que vincula las funciones de Bessel con ₂ F ₂ ; esto se reduce a la segunda fórmula de Kummer para b = 2 a :

Identidad 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Identidad 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

que es una suma finita si bd es un entero no negativo.

La relación de Kummer es

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

Fórmula de Clausen

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

fue utilizado por de Branges para demostrar la conjetura de Bieberbach .

Como se mencionó anteriormente,${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$La ecuación diferencial para esta función es${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$, que tiene soluciones${\displaystyle w=ke^{z}}$donde k es una constante.

Las funciones de la forma${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$Se denominan funciones límite hipergeométricas confluentes y están estrechamente relacionadas con las funciones de Bessel .

La relación es:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Cuando a no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

proporciona una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

por lo tanto la solución general es

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

donde k y l son constantes. (Si a es un entero positivo, la solución independiente viene dada por la función de Bessel de segundo tipo correspondiente).

Un caso especial es:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

Un caso importante es:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

o

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

que tiene soluciones

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

donde k es una constante.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$es la serie geométrica con razón z y coeficiente 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$También es útil.

Las funciones de la forma${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$se denominan funciones hipergeométricas confluentes de primera especie , también escritas${\displaystyle M(a;b;z)}$La función gamma incompleta${\displaystyle \gamma (a,z)}$es un caso especial.

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Cuando b no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

proporciona una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

por lo tanto la solución general es

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

donde k y l son constantes.

Cuando a es un entero no positivo, − n ,${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$es un polinomio. Salvo factores constantes, estos son los polinomios de Laguerre . Esto implica que los polinomios de Hermite también pueden expresarse en términos de ₁ F _{1 .}

Las relaciones con otras funciones solo se conocen para ciertas combinaciones de parámetros.

La función${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$es la antiderivada del seno cardinal . Con valores modificados de${\displaystyle a_{1}}$y${\displaystyle b_{1}}$, se obtiene la antiderivada de${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$. ^{[ 10 ]}

La función Lommel es${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)}$. ^{[ 11 ]}

La función hipergeométrica confluente de segundo tipo se puede escribir como: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

Históricamente, las más importantes son las funciones de la forma${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$A veces se las denomina funciones hipergeométricas de Gauss , funciones hipergeométricas clásicas estándar o, simplemente, funciones hipergeométricas. El término función hipergeométrica generalizada se utiliza para las funciones _p F _q si existe riesgo de confusión. Esta función fue estudiada en detalle por primera vez por Carl Friedrich Gauss , quien exploró las condiciones para su convergencia.

La ecuación diferencial para esta función es

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

o

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

Se conoce como la ecuación diferencial hipergeométrica . Cuando c no es un entero positivo, la sustitución

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

proporciona una solución linealmente independiente

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

Por lo tanto, la solución general para | z | < 1 es

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

donde k y l son constantes. Se pueden obtener diferentes soluciones para otros valores de z . De hecho, existen 24 soluciones, conocidas como soluciones de Kummer , que se pueden obtener utilizando diversas identidades, válidas en diferentes regiones del plano complejo.

Cuando a es un entero no positivo, − n ,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

es un polinomio. Salvo factores constantes y escala, estos son los polinomios de Jacobi . Varias otras clases de polinomios ortogonales, salvo factores constantes, son casos especiales de polinomios de Jacobi, por lo que también pueden expresarse usando ₂ F _{1. Esto incluye} los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev .

Se puede expresar una amplia gama de integrales de funciones elementales utilizando la función hipergeométrica, por ejemplo:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

La serie hipergeométrica${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$Generalmente se asocia con integrales de productos de funciones potenciales y la función exponencial. Por lo tanto, la integral exponencial se puede escribir como:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{}_{2}F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}$

Los polinomios de Mott se pueden escribir como: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

La función

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

es el dilogaritmo ^{[ 14 ]}

Además,

${\displaystyle _{3}F_{2}(1,1,1+n;2,2;x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}{\frac {\operatorname {Li} _{2-k}(x)}{x}}}$,

dónde${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}}$es el número de Stirling sin signo de primera especie . ^{[ 15 ]}

La función

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

es un polinomio de Hahn .

La función

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

es un polinomio de Wilson .

Todas las raíces de una ecuación quíntica pueden expresarse en términos de radicales y el radical Bring , que es la solución real de${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$. El radical Bring se puede escribir como: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

La función de partición${\displaystyle Z(K)}$del modelo de Ising isotrópico 2D sin campo magnético externo fue hallado por Onsager en la década de 1940 y puede expresarse como ^{[ 17 ].}

${\displaystyle \ln Z(K)=\ln(2\cosh 2K)-k^{2}{}_{4}F_{3}\left(1,1,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};2,2,2;16k^{2}\right),}$

con${\displaystyle K={\frac {J}{k_{\mathrm {B} }T}}}$y${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\tanh 2K\,\operatorname {sech} 2K}$.

Las funciones

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

para${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$y${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$son el polilogaritmo .

Para cada entero n ≥2, las raíces del polinomio x ⁿ − x +t pueden expresarse como una suma de a lo sumo N −1 funciones hipergeométricas de tipo _{n +1} F _n , que siempre pueden reducirse eliminando al menos un par de parámetros a y b . ^{[ 16 ]}