Dilogaritmo

En matemáticas , el dilogaritmo (o función de Spence ), denotado como Li ₂ ( z ) , es un caso particular del polilogaritmo . Dos funciones especiales relacionadas se denominan función de Spence y el propio dilogaritmo:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} }$

y su reflexión. Para | z | ≤ 1 , también se aplica una serie infinita (la definición integral constituye su extensión analítica al plano complejo ):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

Alternativamente, la función dilogaritmo a veces se define como

${\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).}$

En geometría hiperbólica, el dilogaritmo se puede utilizar para calcular el volumen de un simplex ideal . Específicamente, un simplex cuyos vértices tienen razón antagónica z tiene volumen hiperbólico.

${\displaystyle D(z)=\operatorname {Im} \operatorname {Li} _{2}(z)+\arg(1-z)\log |z|.}$

La función D ( z ) a veces se denomina función de Bloch-Wigner. ^{[ 1 ]} La función de Lobachevsky y la función de Clausen son funciones estrechamente relacionadas.

William Spence , de quien los primeros autores en este campo dieron nombre a la función, fue un matemático escocés que trabajó a principios del siglo XIX. ^{[ 2 ]} Fue compañero de escuela de John Galt , ^{[ 3 ]} quien más tarde escribió un ensayo biográfico sobre Spence.

Utilizando la definición anterior, la función dilogaritmo es analítica en todo el plano complejo excepto en${\displaystyle z=1}$donde tiene un punto de ramificación logarítmico. La elección estándar del corte de rama es a lo largo del eje real positivo.${\displaystyle (1,\infty )}$Sin embargo, la función es continua en el punto de bifurcación y toma el valor${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}$.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}).}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {(\ln z)^{2}}{2}}.}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z).}$^{[ 4 ]} Lafórmula de reflexión.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {(\ln(-z))^{2}}{2}}.}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {L} (x)+\operatorname {L} (y)=\operatorname {L} (xy)+\operatorname {L} \left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)+\operatorname {L} \left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]} La ecuación funcional de Abel o relación de cinco términos donde${\displaystyle \operatorname {L} (z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}[\operatorname {Li} _{2}(z)+{\frac {1}{2}}\ln(z)\ln(1-z)]}$es la función L de Rogers (una relación análoga también la satisface el dilogaritmo cuántico )

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {(\ln 3)^{2}}{6}}.}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}-{\frac {(\ln 3)^{2}}{3}}.}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\cdot \ln 3-2(\ln 2)^{2}-{\frac {2}{3}}(\ln 3)^{2}.}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {9}{8}}\right)^{2}.}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.}$Su pendiente = 1.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {(\ln 2)^{2}}{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},}$dónde${\displaystyle \zeta (s)}$es la función zeta de Riemann .

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

La función de Spence se encuentra comúnmente en la física de partículas al calcular correcciones radiativas . En este contexto, la función a menudo se define con un valor absoluto dentro del logaritmo:

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}$

• Número de Markstein

• Lewin, L. (1958). Dilogaritmos y funciones asociadas . Prólogo de JCP Miller. Londres: Macdonald. MR 0105524 . 
• Morris , Robert (1979). " La función dilogaritmo de un argumento real" . Math. Comp . 33 (146): 778–787 . doi : 10.1090/S0025-5718-1979-0521291-X.MR 0521291 . 
• Loxton, JH (1984). "Valores especiales del dilogaritmo" . Acta Arith . 18 (2): 155–166 . doi : 10.4064/aa-43-2-155-166 . MR 0736728 . 
• Kirillov, Anatol N. (1995). "Identidades de dilogaritmos". Progress of Theoretical Physics Supplement . 118 : 61–142 . arXiv : hep-th/9408113 . Bibcode : 1995PThPS.118...61K . doi : 10.1143/PTPS.118.61 . S2CID 119177149 . 
• Oscar, Carlos; Palaciano, Jesús; Palacios, Manuel (1995). "Evaluación numérica del dilogaritmo de argumento complejo". Celeste. Mec. Din. Astron . 62 (1): 93– 98. Bibcode : 1995CeMDA..62...93O . doi : 10.1007/BF00692071 . S2CID 121304484 . 
• Zagier, Don (2007). "La función dilogaritmo". En Pierre Cartier ; Pedro Moussa; Bernardo Julia; Pierre Vanhove (eds.). Fronteras en teoría de números, física y geometría II (PDF) . págs. 3– 65. doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_1 . ISBN  978-3-540-30308-4.

• Bloch, Spencer J. (2000). Reguladores superiores, teoría K algebraica y funciones zeta de curvas elípticas . Serie de monografías CRM. Vol.  11. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001 . 

• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: Dilogaritmo
• Weisstein, Eric W. "Dilogaritmo" . MundoMatemático .