Polinomios de Mott

En matemáticas, los polinomios de Mott s _n ( x ) son polinomios dados por la función generadora exponencial:

${\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}$

Fueron introducidos por Nevill Francis Mott , quien los aplicó a un problema en la teoría de los electrones. ^[1]

Porque el factor en la exponencial tiene la serie de potencias

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

En términos de números catalanes , el coeficiente delante del polinomio se puede escribir como $Estilo de visualización C_ {k}}$${\estilo de visualización x^{k}}$

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}}$, según la fórmula general para polinomios de Appell generalizados , donde la suma es sobre todas las composiciones de en enteros positivos impares. El producto vacío que aparece para es igual a 1. Los valores especiales, donde todos los números Catalan que contribuyen son iguales a 1, son${\displaystyle n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k=n=0}$

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.}$

Por diferenciación la recurrencia para la primera derivada se convierte en

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

Los primeros de ellos son (secuencia A137378 en la OEIS )

$estilo de visualización s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}$

Los polinomios s _n ( x ) forman la secuencia de Sheffer asociada para –2 t /(1–t ² ) ^[2]

Una expresión explícita para ellos en términos de la función hipergeométrica generalizada ₃ F ₀ : ^[3]

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})}$