Polinomios de Appell generalizados

En matemáticas , una secuencia polinómica${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios adopta una determinada forma:

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

donde la función generadora o núcleo${\displaystyle K(z,w)}$está compuesta por la serie

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$con${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

y

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$y todo${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

y

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$con${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

En vista de lo anterior, no es difícil demostrar que${\displaystyle p_{n}(z)}$es un polinomio de grado${\displaystyle n}$.

Los polinomios de Boas-Buck son una clase de polinomios ligeramente más general.

• La elección de${\displaystyle g(w)=w}$da la clase de polinomios de Brenke .
• La elección de${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$da como resultado la secuencia de polinomios de Sheffer , que incluye los polinomios de diferencias generales , como los polinomios de Newton .
• La elección combinada de${\displaystyle g(w)=w}$y${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$da la secuencia de polinomios de Appell.

Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

La constante es

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

donde esta suma se extiende sobre todas las composiciones de${\displaystyle n}$en${\displaystyle k+1}$partes; es decir, la suma se extiende sobre todas${\displaystyle \{j\}}$de tal manera que

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{nk}z^{k}}{k!}}.}$

De forma equivalente, una condición necesaria y suficiente es que el núcleo${\displaystyle K(z,w)}$se puede escribir como${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$con${\displaystyle g_{1}=1}$es que

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

dónde${\displaystyle b(w)}$y${\displaystyle c(w)}$tener la serie de poder

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

y

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _ {n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

Sustituyendo

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

inmediatamente da la relación de recursión

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{nk-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{nk}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene${\displaystyle g(w)=w}$y por lo tanto todos los${\displaystyle b_{n}=0}$, simplificando significativamente la relación de recursión.

• polinomios de q-diferencias

• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Expansiones polinómicas de funciones analíticas (segunda edición corregida) , (1964) Academic Press Inc., Editores Nueva York, Springer-Verlag, Berlín. Número de ficha de la Biblioteca del Congreso 63-23263.
• Brenke, William C. (1945). "Sobre las funciones generadoras de sistemas polinomiales". American Mathematical Monthly . 52 (6): 297– 301. doi : 10.2307/2305289 . JSTOR 2305289 . 
• Huff, WN (1947). "El tipo de polinomios generados por f(xt) φ(t)". ​​Duke Mathematical Journal . 14 (4): 1091– 1104. doi : 10.1215/S0012-7094-47-01483-X .