polinomio de q -diferencias

En matemáticas combinatorias , los polinomios q -diferenciales o q -armónicos son una sucesión de polinomios definida en términos de la q -derivada . Son un tipo generalizado de polinomio de Brenke y generalizan los polinomios de Appell . Véase también sucesión de Sheffer .

Los polinomios de q-diferencia satisfacen la relación

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}p_{n}(z)={\frac {p_{n}(qz)-p_{n}(z)}{qz-z}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}p_{n-1}(z)=[n]_{q}p_{n-1}(z)}$

donde el símbolo de derivada de la izquierda es la q-derivada. En el límite de${\displaystyle q\to 1}$, esta se convierte en la definición de los polinomios de Appell:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}p_{n}(z)=np_{n-1}(z).}$

La función generadora generalizada para estos polinomios es del tipo de función generadora para polinomios de Brenke, a saber:

${\displaystyle A(w)e_{q}(zw)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(z)}{[n]_{q}!}}w^{n}}$

dónde${\displaystyle e_{q}(t)}$es la q-exponencial :

${\displaystyle e_{q}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$

Aquí,${\displaystyle [n]_{q}!}$es el factorial q y

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

es el símbolo q-Pochhammer . La función${\displaystyle A(w)}$es arbitrario pero se supone que tiene una expansión

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}{\mbox{ con }}a_{0}\neq 0.}$

Cualquiera de esos${\displaystyle A(w)}$da una secuencia de polinomios de q-diferencias.

• A. Sharma y AM Chak, "El análogo básico de una clase de polinomios", Riv. Mat. Univ. Parma , 5 (1954) 325–337.
• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Expansiones polinómicas de funciones analíticas (Segunda edición corregida) , (1964) Academic Press Inc., Editores Nueva York, Springer-Verlag, Berlín. Número de ficha de la Biblioteca del Congreso 63-23263. (Incluye una breve explicación sobre la convergencia).