Función de Lommel

La ecuación diferencial de Lommel , llamada así en honor a Eugen von Lommel , es una forma no homogénea de la ecuación diferencial de Bessel :

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})y=z^{\mu +1}.}$

Las soluciones se dan mediante las funciones de Lommel s _μ,ν ( z ) y S _μ,ν ( z ), introducidas por Eugen von Lommel  (1880),

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\ !\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],}$

${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),}$

donde J _ν ( z ) es una función de Bessel del primer tipo y Y _ν ( z ) una función de Bessel del segundo tipo.

La función s también se puede escribir como ^[1]

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{ }_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

donde _p F _q es una función hipergeométrica generalizada .

• Función de la ira
• Polinomio de Lommel
• Función de Struve
• Función de Weber

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Funciones trascendentales superiores. Vol II (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York-Toronto-Londres, MR  0058756
• Lommel, E. (1875), "Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function", Math. Ana. , 9 (3): 425–444, doi :10.1007/BF01443342
• Lommel, E. (1880), "Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV", Matemáticas. Ana. , 16 (2): 183–208, doi :10.1007/BF01446386
• París, RB (2010), "Función de Lommel", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función de Lommel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Lommel". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.
• Weisstein, Eric W. "Función de Lommel". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.