Función Struve

En matemáticas , las funciones de Struve H _α ( x ) , son soluciones y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel no homogénea :

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}}$

introducida por Hermann Struve  ( 1882 ). El número complejo α es el orden de la función de Struve, y suele ser un número entero .

Y definió además su versión de segundo tipo como , donde es la función de Neumann . ${\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)}$${\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)=\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$

Las funciones de Struve modificadas L _α ( x ) son iguales a − ie ^{− iαπ / 2} H _α ( ix ) y son soluciones y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel no homogénea :

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}}$

Y definió además su versión de segundo tipo como , donde es la función de Bessel modificada de primer tipo . ${\displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)}$${\displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)=\mathbf {L} _{\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}$${\displaystyle I_{\alpha }(x)}$

Dado que se trata de una ecuación no homogénea , las soluciones pueden construirse a partir de una única solución particular sumando las soluciones del problema homogéneo. En este caso, las soluciones homogéneas son las funciones de Bessel , y la solución particular puede elegirse como la función de Struve correspondiente.

Las funciones de Struve, denotadas como H _α ( z ), tienen la forma de serie de potencias.

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1},}$

donde Γ( z ) es la función gamma .

Las funciones de Struve modificadas, denotadas L _α ( z ) , tienen la siguiente forma de serie de potencias.

${\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1}.}$

Otra definición de la función de Struve, para valores de α que satisfacen Re( α ) > − ⁠1/2⁠ , es posible expresarlo en términos de la representación integral de Poisson:

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sin xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

$${\displaystyle \mathbf {K} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }(1+t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh \tau }\cosh ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

$${\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sinh xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\alpha }(x)=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\cos \tau }\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau =-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\sin \tau }\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau }$$

Para valores pequeños de x , el desarrollo en serie de potencias se muestra arriba .

Para valores grandes de x , se obtiene:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha -1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{\alpha -3}\right),}$

donde Y _α ( x ) es la función de Neumann .

Las funciones de Struve satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}},\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}.\end{aligned}}}$

Las funciones de Struve de orden entero pueden expresarse en términos de funciones de Weber E _n y viceversa: si n es un entero no negativo, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{n}(z)&={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac {1}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{n}(z),\\\mathbf {E} _{-n}(z)&={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n-3}{2}}\right\rceil }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2}})\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{-n}(z).\end{aligned}}}$

Funciones de Struve de orden n + ⁠1/2donde n es un entero se puede expresar en términos de funciones elementales . En particular, sin es un entero no negativo, entonces

${\displaystyle \mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}}}(z),}$

donde el lado derecho es una función de Bessel esférica .

Las funciones de Struve (de cualquier orden) pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica generalizada ₁ F ₂ :

${\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\right)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\tfrac {3}{2}},\alpha +{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right).}$

Se demostró que las funciones de Struve y Weber tienen una aplicación en la formación de haces en ^{[ 1 ]} y en la descripción del efecto de la interfaz de confinamiento en el movimiento browniano de partículas coloidales a bajos números de Reynolds. ^{[ 2 ]}

• RM Aarts y Augustus JEM Janssen (2003). "Aproximación de la función de Struve H ₁ que aparece en los cálculos de impedancia". J. Acoust. Soc. Am . 113 (5): 2635– 2637. Bibcode : 2003ASAJ..113.2635A . doi : 10.1121/1.1564019 . PMID  12765381 .
• RM Aarts y Augustus JEM Janssen (2016). "Aproximación eficiente de las funciones de Struve H _n que aparecen en el cálculo de cantidades de radiación sonora" . J. Acoust. Soc. Am . 140 (6): 4154– 4160. Bibcode : 2016ASAJ..140.4154A . doi : 10.1121/1.4968792 . PMID  28040027 .
• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 12» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 496. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Función de Struve" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Paris, RB (2010), "Función de Struve" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248.
• Struve, H. (1882). "Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren" . Annalen der Physik und Chemie . 17 (13): 1008– 1016. Bibcode : 1882AnP...253.1008S . doi : 10.1002/andp.18822531319 .

• Funciones de Struve en el sitio web de funciones de Wolfram .