Función Cunningham

En estadística , la función de Cunningham o función de Pearson - Cunningham ω _{m , n} ( x ) es una generalización de una función especial introducida por Pearson (1906) y estudiada en la forma aquí por Cunningham (1908) . Se puede definir en términos de la función hipergeométrica confluente U , por

${\displaystyle \displaystyle \omega _{m,n}(x)={\frac {e^{-x+\pi i(m/2-n)}}{\Gamma (1+nm/2)}}U(m/2-n,1+m,x).}$

La función fue estudiada por Cunningham ^{[ 1 ]} en el contexto de una generalización multivariada de la expansión de Edgeworth para aproximar una función de densidad de probabilidad basada en sus momentos (conjuntos). En un contexto más general, la función está relacionada con la solución de la ecuación de difusión de coeficiente constante , en una o más dimensiones. ^{[ 1 ]}

La función ω _{m , n} ( x ) es una solución de la ecuación diferencial para X : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle xX''+(x+1+m)X'+(n+{\tfrac {1}{2}}m+1)X.}$

La función especial estudiada por Pearson se da, en su notación, por ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \omega _{2n}(x)=\omega _{0,n}(x).}$

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 13» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol.  55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera  ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág.  510. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• Cunningham, E. (1908), "Las funciones ω, una clase de funciones normales que aparecen en estadística", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico , 81 (548), The Royal Society: 310–331 , doi : 10.1098/rspa.1908.0085 , ISSN 0950-1207 , JSTOR 93061  
• Pearson, Karl (1906), Una teoría matemática de la migración aleatoria , Londres, Dulau and co.
• Whittaker, ET; Watson, GN (1963), Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2{{citation}}:Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )Véase el ejercicio 10, capítulo XVI, pág.  353.