función de Bessel

Las funciones de Bessel de primera especie, denotadas como J _α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para α entero o positivo , las funciones de Bessel de primera especie son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α negativo no entero , las funciones de Bessel de primera especie divergen cuando x tiende a cero. Es posible definir la función mediante  ${\displaystyle x^{\alpha }}$veces una serie de Maclaurin (nótese que α no tiene por qué ser un número entero y no se permiten potencias no enteras en una serie de Taylor), que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$ donde Γ( z ) es la función gamma , una generalización desplazada de la función factorial a valores no enteros. Algunos autores anteriores definen la función de Bessel de primera especie de manera diferente, esencialmente sin la división por${\displaystyle 2}$en${\displaystyle x/2}$; ^{[ 7 ]} esta definición no se utiliza en este artículo. La función de Bessel de primer tipo es una función entera si α es un entero, de lo contrario es una función multivaluada con singularidad en cero. Las gráficas de las funciones de Bessel se parecen aproximadamente a funciones seno o coseno oscilantes que decaen proporcionalmente a${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$(Véase también sus formas asintóticas más adelante), aunque sus raíces no son generalmente periódicas, excepto asintóticamente para valores grandes de x . (La serie indica que − J ₁ ( x ) es la derivada de J ₀ ( x ) , de forma similar a como −sin x es la derivada de cos x ; de forma más general, la derivada de J _n ( x ) puede expresarse en términos de J _{n ± 1} ( x ) mediante las identidades que se muestran a continuación ).

Para α no entero , las funciones J _α ( x ) y J _{− α} ( x ) son linealmente independientes y, por lo tanto, son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, para n de orden entero , se cumple la siguiente relación (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los enteros no positivos): ^{[ 8 ]}$${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente resulta ser la función de Bessel de segundo tipo, como se explica más adelante.

Las funciones de Bessel de segundo tipo, denotadas por Y _α ( x ) , y ocasionalmente por N _α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que presentan una singularidad en el origen ( x = 0 ) y son multivaluadas . A veces se las denomina funciones de Weber , ya que fueron introducidas por H. M. Weber ( 1873 ) , y también funciones de Neumann , en honor a Carl Neumann . ^{[ 18 ]} 

Para α no entero , Y _α ( x ) está relacionado con J _α ( x ) por $${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

En el caso de orden entero n , la función se define tomando el límite cuando un número no entero α tiende a n : $${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Si n es un entero no negativo, tenemos la serie ^{[ 19 ].}$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$ dónde${\displaystyle \psi (z)}$es la función digamma , la derivada logarítmica de la función gamma . ^{[ 5 ]}

También existe una fórmula integral correspondiente (para Re( x ) > 0 ): ^{[ 20 ]}$${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

En el caso donde n = 0 : (con${\displaystyle \gamma }$siendo la constante de Euler )$${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x ) es necesaria como segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel cuando α es un entero. Pero Y _α ( x ) tiene un significado más profundo. Puede considerarse como una función complementaria "natural" de J _α ( x ) . Véase también la subsección sobre funciones de Hankel más adelante.

Además, cuando α es un número entero, como ocurría de forma similar con las funciones de primer tipo, se cumple la siguiente relación: $${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

Tanto J _α ( x ) como Y _α ( x ) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje real negativo. Cuando α es un entero, las funciones de Bessel J son funciones enteras de x . Si x se mantiene fijo en un valor distinto de cero, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras de α .

Las funciones de Bessel de segundo tipo, cuando α es un número entero, son un ejemplo del segundo tipo de solución en el teorema de Fuchs .

Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel de primer y segundo tipo , H ⁽¹⁾ _α ( x ) y H ⁽²⁾ _α ( x ) , definidas como ^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$ donde i es la unidad imaginaria . Estas combinaciones lineales también se conocen como funciones de Bessel de tercer tipo ; son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Reciben su nombre de Hermann Hankel .

Estas formas de combinación lineal satisfacen numerosas propiedades de apariencia simple, como fórmulas asintóticas o representaciones integrales. Aquí, "simple" significa la aparición de un factor de la forma e ^{i f (x)} . Para reales${\displaystyle x>0}$dónde${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$,${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$son de valor real, las funciones de Bessel de primera y segunda especie son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por lo tanto, las fórmulas anteriores son análogas a la fórmula de Euler , sustituyendo H ⁽¹⁾ _α ( x ) , H ⁽²⁾ _α ( x ) por${\displaystyle e^{\pm ix}}$y${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$,${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$para${\displaystyle \cos(x)}$,${\displaystyle \sin(x)}$, como se muestra explícitamente en el desarrollo asintótico .

Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de ondas cilíndricas, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).

Utilizando las relaciones anteriores, se pueden expresar como $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, sea α un número entero o no: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

En particular, si α = m + 1/2 con m un entero no negativo , las relaciones anteriores implican directamente que $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Estas son útiles para desarrollar las funciones de Bessel esféricas (véase más abajo).

Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re( x ) > 0 : ^{[ 23 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$ donde los límites de integración indican la integración a lo largo de un contorno que puede elegirse de la siguiente manera: de −∞ a 0 a lo largo del eje real negativo, de 0 a ± π i a lo largo del eje imaginario, y de ± π i a +∞ ± π i a lo largo de un contorno paralelo al eje real. ^{[ 20 ]}

Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (o, en ocasiones, funciones de Bessel hiperbólicas ) de primera y segunda especie y se definen como ^{[ 24 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$ cuando α no es un entero. Cuando α es un entero, se utiliza el límite. Estos se eligen para que sean de valor real para argumentos x reales y positivos . El desarrollo en serie para I _α ( x ) es, por lo tanto, similar al de J _α ( x ) , pero sin el factor ^m alternante (−1) .

${\displaystyle K_{\alpha }}$se puede expresar en términos de funciones de Hankel: $${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Utilizando estas dos fórmulas el resultado a${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)}$, comúnmente conocida como integral de Nicholson o fórmula de Nicholson, se puede obtener para dar lo siguiente $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

dado que se cumple la condición Re( x ) > 0. También se puede demostrar que $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$ solo cuando | Re( α ) | < 1 / 2 y Re( x ) ≥ 0 pero no cuando x = 0 . ^{[ 25 ]}

Podemos expresar la primera y la segunda función de Bessel en términos de las funciones de Bessel modificadas (estas son válidas si − π < arg z ≤ ⁠ π / 2 ⁠ ): ^{[ 26 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) y K _α ( x ) son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel modificada : ^{[ 27 ]}$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

A diferencia de las funciones de Bessel ordinarias, que oscilan como funciones de un argumento real, I _α y K _α son funciones que crecen y decrecen exponencialmente, respectivamente. Al igual que la función de Bessel ordinaria J _α , la función I _α tiende a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0. Análogamente, K _α diverge en x = 0 con una singularidad de tipo logarítmico para K ₀ , y ⁠ 1 / 2 ⁠ Γ( | α | )(2/ x ) ^{| α |} en caso contrario. ^{[ 28 ]}

Dos fórmulas integrales para las funciones de Bessel modificadas son (para Re( x ) > 0 ): ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Las funciones de Bessel pueden describirse como transformadas de Fourier de potencias de funciones cuadráticas. Por ejemplo (para Re(ω) > 0 ): $${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Se puede demostrar mostrando la igualdad con la definición integral anterior para K ₀ . Esto se hace integrando una curva cerrada en el primer cuadrante del plano complejo.

Las funciones de Bessel modificadas de segundo tipo pueden representarse con la integral de Bassett ^{[ 30 ].}$${\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}$$

Las funciones de Bessel modificadas K _1/3 y K _2/3 pueden representarse en términos de integrales de rápida convergencia ^{[ 31 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

La función de Bessel modificada${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$Es útil representar la distribución de Laplace como una mezcla de distribuciones normales en escala exponencial.

La función de Bessel modificada de segundo tipo también ha recibido los siguientes nombres (ahora poco comunes):

• Basset, en honor a Alfred Barnard Basset.
• Función de Bessel modificada de tercer tipo
• Función de Hankel modificada ^{[ 32 ]}
• Función de Macdonald en honor a Hector Munro Macdonald

Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas mediante separación de variables , la ecuación radial tiene la forma $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones de Bessel esféricas j _n e y _n , y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias J _n e Y _n mediante ^{[ 33 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _n también se denota n _n o η _n ; algunos autores llaman a estas funciones funciones de Neumann esféricas .

De las relaciones con las funciones de Bessel ordinarias se deduce directamente que: $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

Las funciones de Bessel esféricas también se pueden escribir como (Fórmulas de Rayleigh ) ^{[ 34 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

La función de Bessel esférica de orden cero j ₀ ( x ) también se conoce como la función sinc (no normalizada) . Las primeras funciones de Bessel esféricas son: ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$ y ^{[ 36 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Las primeras raíces no nulas de las primeras funciones de Bessel esféricas son:

También existen análogos esféricos de las funciones de Hankel : $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

Existen expresiones simples en forma cerrada para las funciones de Bessel de orden semi-entero en términos de las funciones trigonométricas estándar y, por lo tanto, para las funciones de Bessel esféricas. En particular, para enteros no negativos n : $${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$ y h ⁽²⁾ _n es el conjugado complejo de este (para x real ). Se sigue, por ejemplo, que j ₀ ( x ) = ⁠ sin x / x ⁠ y y ₀ ( x ) = − ⁠ cos x / x ⁠ , y así sucesivamente.

Las funciones de Hankel esféricas aparecen en problemas que implican la propagación de ondas esféricas , por ejemplo, en la expansión multipolar del campo electromagnético .

Las funciones de Riccati -Bessel difieren solo ligeramente de las funciones de Bessel esféricas: $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Satisfacen la ecuación diferencial $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Por ejemplo, este tipo de ecuación diferencial aparece en mecánica cuántica al resolver la componente radial de la ecuación de Schrödinger con una hipotética barrera de potencial cilíndrica infinita. ^{[ 40 ]} Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, también surgen en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocida como dispersión de Mie por la primera solución publicada por Mie (1908). Véase, por ejemplo, Du (2004) ^{[ 41 ]} para desarrollos y referencias recientes.

Siguiendo a Debye (1909), la notación ψ _n , χ _n se utiliza a veces en lugar de S _n , C _n .