Problema del círculo de Gauss

En matemáticas , el problema del círculo de Gauss es el problema de determinar cuántos puntos enteros de la red hay en un círculo centrado en el origen y con radio${\displaystyle r}$Este número se aproxima mediante el área del círculo, por lo que el verdadero problema consiste en acotar con precisión el término de error que describe la diferencia entre el número de puntos y el área. El primer avance en la búsqueda de una solución lo realizó Carl Friedrich Gauss , de ahí su nombre.

Consideremos un círculo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con centro en el origen y radio${\displaystyle r\geq 0}$El problema del círculo de Gauss pregunta cuántos puntos hay dentro de este círculo de la forma${\displaystyle (m,n)}$dónde${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son ambos enteros. Dado que la ecuación de este círculo está dada en coordenadas cartesianas por${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$La pregunta es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay tales que

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Si la respuesta para un dado${\displaystyle r}$se denota por${\displaystyle N(r)}$Luego, la siguiente lista muestra los primeros valores de${\displaystyle N(r)}$para${\displaystyle r}$un número entero entre 0 y 12 seguido de la lista de valores.${\displaystyle \pi r^{2}}$redondeado al entero más cercano:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (secuencia A000328 en el OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (secuencia A075726 en el OEIS )

${\displaystyle N(r)}$es aproximadamente${\displaystyle \pi r^{2}}$, el área dentro de un círculo de radio${\displaystyle r}$Esto se debe a que, en promedio, cada cuadrado unitario contiene un punto de la red. Por lo tanto, el número real de puntos de la red en el círculo es aproximadamente igual a su área.${\displaystyle \pi r^{2}}$. Por lo tanto, cabe esperar que

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

para algún término de error${\displaystyle E(r)}$de valor absoluto relativamente pequeño . Encontrar un límite superior correcto para${\displaystyle \mid E(r)\mid }$es, pues, la forma que ha adoptado el problema. Nótese que${\displaystyle r}$no tiene por qué ser un número entero. Después ${\displaystyle N(4)=49}$uno tiene${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$En estos lugares${\displaystyle E(r)}$aumenta por${\displaystyle 8,4,8,12}$después de lo cual disminuye (a una tasa de${\displaystyle 2\pi r}$) hasta la próxima vez que aumente.

Gauss logró demostrar ^{[ 1 ]} que para${\displaystyle r\geq {\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle |E(r)-2|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Hardy ^{[ 2 ]} y, de forma independiente, Landau encontraron un límite inferior al demostrar que

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

utilizando la notación o pequeña . Se conjetura ^{[ 3 ]} que la cota correcta es

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

Escribiendo${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$, los límites actuales en${\displaystyle t}$son

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

con el límite inferior de Hardy y Landau en 1915, y el límite superior demostrado por Martin Huxley en 2000. ^{[ 4 ]}

El valor de${\displaystyle N(r)}$puede ser dada por varias series. En términos de una suma que involucra la función piso se puede expresar como: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Esto es consecuencia del teorema de los dos cuadrados de Jacobi , que se deduce casi inmediatamente del producto triple de Jacobi . ^{[ 6 ]}

Una suma mucho más simple aparece si la función de suma de cuadrados${\displaystyle r_{2}(n)}$se define como el número de maneras de escribir el número${\displaystyle n}$como la suma de dos cuadrados. Entonces ^{[ 7 ]}

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

El progreso más reciente se basa en la siguiente identidad, que fue descubierta por primera vez por Hardy: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

dónde${\displaystyle J_{1}}$denota la función de Bessel de primera especie con orden 1.

Aunque el problema original pide puntos de red enteros en un círculo, no hay razón para no considerar otras formas, por ejemplo cónicas ; de hecho, el problema del divisor de Dirichlet es el problema equivalente donde el círculo se reemplaza por la hipérbola rectangular . ^{[ 3 ]} De manera similar, se podría extender la pregunta de dos dimensiones a dimensiones superiores y pedir puntos enteros dentro de una esfera u otros objetos. Existe una extensa literatura sobre estos problemas. Si se ignora la geometría y simplemente se considera el problema como uno algebraico de desigualdades diofánticas , entonces allí se podrían aumentar los exponentes que aparecen en el problema de cuadrados a cubos, o más.

El planímetro de puntos es un dispositivo físico para estimar el área de figuras basándose en el mismo principio. Consiste en una cuadrícula cuadrada de puntos, impresa en una lámina transparente; el área de una figura se puede estimar como el producto del número de puntos en la figura por el área de un cuadrado de la cuadrícula. ^{[ 9 ]}

• Weisstein, Eric W. "El problema del círculo de Gauss" . MundoMatemático .
• Sanderson, Grant (19 de mayo de 2017). "Pi oculto en regularidades primas" . 3Blue1Brown .