polinomios de Bessel

El polinomio de Bessel también puede definirse utilizando funciones de Bessel, de las cuales el polinomio toma su nombre.

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

donde K _n ( x ) es una función de Bessel modificada de segundo tipo , y _n ( x ) es el polinomio ordinario y θ _n ( x ) es el polinomio inverso . ^{[ 2 ] : 7, 34} Por ejemplo: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

El polinomio de Bessel también puede definirse como una función hipergeométrica confluente ^{[ 5 ] : 8}

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

Una expresión similar es válida para los polinomios de Bessel generalizados (véase más abajo): ^{[ 2 ] : 35}

${\displaystyle y_{n}(x;a,b)=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}$

El polinomio de Bessel inverso puede definirse como un polinomio de Laguerre generalizado :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

De lo cual se deduce que también puede definirse como una función hipergeométrica:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}$

donde ( − 2 n ) _n es el símbolo de Pochhammer (factorial ascendente).

Los polinomios de Bessel, con el índice desplazado, tienen la función generatriz

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

Diferenciando con respecto a${\displaystyle t}$, cancelando${\displaystyle x}$, produce la función generadora para los polinomios${\displaystyle \{\theta _ {n}\}_ {n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

Existe una función generadora similar para el${\displaystyle y_{n}}$polinomios también: ^{[ 1 ] : 106}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}$

Al configurar${\displaystyle t=z-xz^{2}/2}$, se tiene la siguiente representación para la función exponencial : ^{[ 1 ] : 107}

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}$

El polinomio de Bessel también puede definirse mediante una fórmula de recurrencia:

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

y

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

El polinomio de Bessel obedece la siguiente ecuación diferencial :

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

y

${\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

Los polinomios de Bessel son ortogonales con respecto al peso.${\displaystyle e^{-2/x}}$integrada sobre el círculo unitario del plano complejo . ^{[ 1 ] : 104} En otras palabras, si${\displaystyle n\neq m}$,

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0}$

También son ortogonales con respecto a un peso real, siempre que sea una hiperfunción . ^{[ 6 ]}

En la literatura se ha sugerido una generalización de los polinomios de Bessel, como sigue:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

Los polinomios inversos correspondientes son

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

Los coeficientes explícitos de la${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$Los polinomios son: ^{[ 1 ] : 108}

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}$

En consecuencia, el${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$Los polinomios se pueden escribir explícitamente de la siguiente manera:

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}$

Para la función de ponderación

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):={}_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

son ortogonales, por la relación

${\displaystyle 0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\,\mathrm {d} x}$

se cumple para m ≠ n y c una curva que rodea el punto 0.

Se especializan en los polinomios de Bessel para α = β = 2, en cuya situación ρ( x ) = exp(−2/ x ).

Poderes de${\displaystyle x}$se expresan en términos de los polinomios de Bessel generalizados a partir de las fórmulas de conexión inversa que tienen aplicaciones en el cambio de base a estos polinomios. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\alpha (n,k,\alpha ,\beta )\ y_{n-k}(x;\alpha ,\beta )}$

dónde${\displaystyle \alpha (n,k,\alpha ,\beta )={n \choose k}{\frac {(-1)^{k}\beta ^{n}(2(n-k)+\alpha -1)}{(n-k+\alpha -1)_{n+1}}}}$y${\displaystyle n\geq 0}$.

De manera similar, para los polinomios de Bessel generalizados inversos

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{1}(n,k,\alpha ,\beta )\ \theta _{n-k}(x;\alpha ,\beta )}$

dónde${\displaystyle \alpha _{1}(n,k,\alpha ,\beta )=(-1)^{k}{\frac {n \choose k}{\beta ^{k}}}(n+\alpha -1)(n+\alpha -2k)_{k-1}}$y${\displaystyle n\geq 0}$.

La fórmula de Rodrigues para los polinomios de Bessel como soluciones particulares de la ecuación diferencial anterior es  :

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

donde a ^{( α , β )}  _n son coeficientes de normalización.

Según esta generalización, tenemos la siguiente ecuación diferencial generalizada para los polinomios de Bessel asociados:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

dónde${\displaystyle 0\leq m\leq n}$Las soluciones son:

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$